1819 31 313 两个向量的数量积.docx

3.1.3两个向量的数量积
学习目标：1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律．(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．(难点、易混点)
[自主预习·探新知]
1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
思考：等边△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))的夹角是多少？
[提示]120°
2．两个向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c3．两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)④|a·b|≤|a|·|b|[基础自测]
1．思考辨析
(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．()
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．()
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.()
[提示](1)×互补．
(2)×(a·b)·c与c共线，a(b·c)与a共线，但c与a不一定共线．
(3)√
2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于()
A．14B．eq\r(14)C．4D．2
B[∵|a－2b＋3c|2＝(a－2b＋3c)·(a－2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＝14，
∴|a－2b＋3c|＝eq\r(14).]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
120°[∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,3×2)＝－eq\f(1,2).
∴〈a，b〉＝120°.
[合作探究·攻重难]
数量积运算如图3­1­22所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E、F分别是OA、OC的中点．求下列向量的数量积：
图3­1­22
(1)eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))；
(2)eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))；
(3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))·(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))．
[思路探究]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．
[解](1)正四面体的棱长为1，则|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))〉
＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)；
(2)由于E、F分别是OA、OC的中点，
所以EFeq\o(\s\do5(═),\s\up2(∥))eq\f(1,2)AC，
于是eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(EF,\s\up8(→))||eq\o(CB,\s\up8(→))|cos〈eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))〉
＝eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up8(→))|·|eq\o(CB,\s\up8(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))〉
＝eq\f(1,2)×1×1×cos〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))〉
＝eq\f(1,2)×1×