20072008第一学期高数试卷C试题B答案1.docx

中国计量学院2007~2008学年第1学期
《高等数学（C）(1)》课程
试卷（B）参考答案及评分标准
开课二级学院：理学院，学生班级：08国贸1、2、3，08产权1、2，08营销1、2，教师：何满喜赵敏
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、A2、B3、D4、B5、C
二、填空题（每空3分，共15分）
1、02、3、4、5；5、0
三、计算题（共49分）
1.（5分）
解：………………….…..…………….………………..…(+2分)
……………….……………………..….………………….…(+3分)
2．（5分）
解：……………….…..………………………..…….(+2分)
……………….…..…………………………………….(+3分)
3.（5分）设在点处可导，求
解：……………….…..…………………………………….(+2分)
……………….…..…………………………………….(+2分)
……………………………………………….…..……………………………….(+1分)
4．（5分）求函数的二阶导数
解：………………………….………………………………………….……(+2分)
……………………………………………………………………….…(+3分)
5.（5分）已知，且，求在[-1，2]上的最大值和最小值。
解：因为，
所以
因为，所以………………………………….(+1分)
令得………………………………………………….(+1分)

…………………………………………….…….(+2分)
最大值为，最小值为。…………………………………….……………..(+1分)
6．（5分）设，求dy．
解：………………………….…………….….(+2分)
……………………….………………………………...(+2分)
………………………………………………………(+1分)
7．（7分）求函数的图形的凹、凸区间及拐点
解：，，令，得x=2…………………….……..(+2分)
x(-∞,2)2(2,+∞)y"－0+y凸拐点凹曲线在区间为(-∞,2)上凸，在区间(2,+∞)上凹………………………………………….(+3分)
，即为曲线的拐点．.………………………………..………………(+2分)
8．（5分）
解：……….………………..……………….………..(+2分)
……………………………….…..….…….……..………………...(+3分)
9．（5分）
解：.….…….……..…………………….(+2分)
………….…..….…….……..(+3分)
10．（5分）
解：………….…..….…….…………....(+2分)
……….…..….…….……………....(+2分)
=
……….…..….………………………………….…………....(+1分)
四、证明题（共18分）
1．（共5分）证明：
证：设，则f(x)在R上连续、可导，且………..…………..…(+1分)
对任意的（不妨设）
当时，结论显然成立。………………………….………………….……..….(+1分)
当时，由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得
，即…………………………….…(+2分)
因此……………………...…(+1分)
2．（共5分）证明方程x5－3x=1只有一个介于1和2之间的根．
证：(1)根的存在性：
设f(x)=x5－3x－1，f(x)在在[1,2]上连续，且
f(1)=－3<0，f(2)=25>0….……………………………….…………………………(+2分)
由零点定理，至少存在一点ξ∈(1,2)，使f(ξ)=0，即方程f(x)=0在(1,2)内至少有一个根．
….……………………………….………………………..(+1分)
(2)根的唯一性：
当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1,2]上单调递增
故方程f(x)=0在[1,2]上只有一个根．.………………………………………………….(+2分)
3.(共8分)证明双曲线上任何一点的切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为一常数。
证明：双曲线上任何一点的切线方程为
.………………………………………………….(+3分)
切线与轴、轴的交点为.……………………………………(+3分)
故切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为
.………………………………………………….(+2分)