311 空间向量及其加减运算312 空间向量的数乘运算.docx

3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减运算
3.1.2空间向量的数乘运算
【选题明细表】
知识点、方法题号空间向量的概念1,5空间向量的线性运算2,9共线向量3,6,8,11共面向量4,7,10【基础巩固】
1.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(D)
(A)m,n,p共线 (B)m与p共线
(C)n与p共线 (D)m,n,p共面
解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
2.(2019·天津河西区期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,++等于(D)
(A) (B) (C) (D)
解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,++=(+)+=+=.故选D.
3.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(A)
(A)A,B,D (B)A,B,C
(C)B,C,D (D)A,C,D
解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.
4.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于(D)
(A) (B)9 (C) (D)
解析:因为a,b,c三向量共面,
所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).
所以所以λ=.
5.下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②不相等的两个空间向量的模必不相等;
③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
④向量与向量的长度相等.
其中真命题有(填序号).
解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.
②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.
③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.
④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.
答案:④
6.如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线.
解:因为M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四
边形,
所以=++=++.
又=+++
=-+--,
以上两式相加得=2,
即与共线.
【能力提升】
7.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C共面的是(D)
(A)=-+
(B)=--
(C)=++
(D)=-+
解析:若M,A,B,C四点共面,
则=a+b+c(a+b+c=1),在选项中只有D符合.故选D.
8.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为.
解析:因为A,B,C三点共线,
所以存在惟一实数k,使=k,
即-=k(-),
所以(k-1)+-k=0,
又λ+m+n=0,
令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.
答案:0
9.(2019·浙江金华期末)在正棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则=,=.
解析:因为在正棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,
=a,=b,=c,
所以=+=b+c,
=+=c+×(+)=c+(-b+-)=c+(-b+a-b)=c+-.
答案:b+cc+-
10.如图,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点,且=k,
=k,=k,=+m,=+m.
求证:(1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面;
(2)∥;
(3)=k.
证明:(1)因为=+m,
所以A,B,C,D四点共面.
因为=+m,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为=+m=-+m(-)
=k(-)+km(-)
=k+km=k(+m)
=k,
所以∥.
(3)=+=k+k=k(+)=k.
【探究创新】
11.如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
证明:连接EG,GP,GF,EH,HF,QH,因为E,G分别为AB,AC的中点,
所以EG􀱀BC.
同理,HF􀱀BC,所以EG􀱀HF.
从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.
只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的
中点.
事实上,=+,=+.
因为O为GH的中点,
所以+=0.
又因为GP􀱀CD,QH􀱀CD,
所以=,=.
所以+=+++=0.
所以=-.
故PQ经过O点,且O为PQ的中点.
所以EF,GH,PQ相