232 抛物线的简单几何性质.docx

2.3.2抛物线的简单几何性质
【选题明细表】
知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系1,9抛物线的焦点弦问题2,3,7抛物线中的最值问题4,10,11,13抛物线中的定值问题12综合应用5,6【基础巩固】
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(C)
(A)直线与抛物线有一个公共点
(B)直线与抛物线有两个公共点
(C)直线与抛物线有一个或两个公共点
(D)直线与抛物线可能没有公共点
解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(B)
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
直线的方程为y=x-2,
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,
即x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(C)
(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|
(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|
(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2
解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,
|FP3|=x3+.
因为2x2=x1+x3,
所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),
即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.
故选C.
4.(2019·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)
(A) (B) (C) (D)3
解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.
5.(2019·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于(D)
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.
6.(2019·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于(A)
(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°
解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1,
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO,
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.
故∠A1FB1=90°.
故选A.
7.(2019·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.
解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①
由
消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,
所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),
所以k=8.代入①得y=8x-15.
答案:y=8x-15
8.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.
解:如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),
则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2),
过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,
则由抛物线定义得
|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1+x2+p=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,
由
消去y得x2-3px+=0.
所以x1+x2=3p,②
将②代入①,得p=2.
所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.
【能力提升】
9.(2019·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于(B)
(A) (B) (C) (D)0
解析:由可得8x2-20x+8=0,
解得x=2或x=,
则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),
由·=0,
可得(3,2-m)·(,--m)=0.
化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.
10.(2019·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x