平面向量基本定理.doc

3.2平面向量基本定理
学习目标：1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
[自主预习·探新知]
平面向量基本定理
如果e1，e2(如图2­3­5①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图2­3­5②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
图2­3­5
思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
提示：由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底． ()
(2)平面向量的基底不是唯一的． ()
(3)零向量不可作为基底中的向量． ()
[答案](1)×(2)√(3)√
2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是()
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
B[∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]
3．已知AD，BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝a，eq\o(BE,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝()
A．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b
C．eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b
B[∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))
＝b＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))
＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))
∴eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋b，
eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]
4．设O为平行四边形ABCD的对称中心，eq\o(AB,\s\up7(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up7(→))＝6e2，则2e1－3e2等于()
【导学号：64012113】
A.eq\o(OA,\s\up7(→)) B.eq\o(OB,\s\up7(→))
C.eq\o(OC,\s\up7(→)) D.eq\o(OD,\s\up7(→))
B[如图，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→)))＝2e1－3e2.]
[合作探究·攻重难]
对向量基底的理解如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
[解析]由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
[答案]②③
[规律方法]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
[跟踪训练]
1．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e