文科经管类微积分第五章.ppt

高等院校非数学类本科数学课程§５.1不定积分的概念微分法:不定积分的概念不定积分的概念原函数的概念：F(x)f(x),例1.例求下列不定积分例2.每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.二、基本积分表下页例5.从不定积分的定义可知例3.例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解:设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处,
yf(x)2x,
即f(x)是2x的一个原函数.作业P201高等院校非数学类本科数学课程§5.2不定积分的运算法则一、不定积分的性质一、不定积分的性质性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即例1.例2.例3.求例8.例6三角函数公式复习：例14.例7tanxxC.例11.例12.例3被积函数是有理函数时,在求不定积分时将分子加一项再减去一项,或将分母分解拆开,这种拆项法在求不定积分时是常用的方法,使用这些方法的目的是把复杂的有理函数变换成较简单的函数,然后再逐项积分.例5例2作业P204高等院校非数学类本科数学课程§5.3换元积分法例计算一、第一换元积分法例1.例7例3.例6求例11.例5求例9例6.求例8.求例9.求例5.补充积分公式例12.例12例13.例14.例14.书P210
例5-38说明例15例21求例13例18例14求例10.例11.例8求常用的几种凑微分的形式:解补充积分公式解例15作业P221高等院校非数学类本科数学课程§5.3换元积分法二、第二换元积分法定理2设xj(t)是单调的、可导的函数,并且j(t)0.难求例24例33例28例28(2)指数式替换法(2)指数式替换法例27提示:提示:解:提示:提示:提示:解:补充积分公式换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同
情况作不同的三角代换,作法如下：例32例29例7或解：例35补充积分公式例34求例36例35求例38结束作业P222高等院校非数学类本科数学课程§5.4分部积分法分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,
(uv)uvuv,
移项得uv(uv)uv.这两个公式称为分部积分公式.例6.例4.例2.指数函数:例2.例3.指三幂对反例7.解:注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,例5求例6求例8.例7.求例5.例6.例12求解：例7求可用分部积分法的积分小结:第一步都是凑微分，例13例设例14作业P228高等院校非数学类本科数学课程§５.4几种特殊类型函数的积分例8.求说明:例求分母可因式分解的真分式的不定积分解:故(2)用赋值法例2.求例1.将真分式分解为部分分式:例34求分母是二次质因式的真分式的不定积分对于一些方次较高的有理函数，应考虑有无简单的
积分方法，而这些简单方法往往是先用换元法降低原有
理函数的方次．例29二、三角函数的积分例16例18例17例11例11例15原函数的概念：F(x)f(x),请同学们自己看书