弹性力学平面应力问题和平面应变问题.ppt

弹性力学
第一节平面应力问题和平面应变问题第二章平面问题的基本理论弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。==两类特殊问题

1、平面应力问题（4）约束作用于板边，平行于板的中面，
沿板厚不变。坐标系如图选择。简化为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力存在；
b.且仅为 。如：

弧形闸门闸墩因表面无任何面力，第二种：平面应变问题（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；坐标系选择如图：故任何z面（截面）均为对称面。 （2）由于截面形状、体力、面力及约束沿
向均不变，故应力、应变和位移均为 。
所以归纳为平面应变问题：
a.应变中只有平面应变分量存在；
b.且仅为 。例如：且仅为。§2－2平衡微分方程在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：应用的基本假定：列出平衡条件：其中一阶微量抵消，并除以得：当时，得切应力互等定理,⑵适用的条件--连续性，小变形；理论力学考虑整体的平衡（只决定整
体的运动状态）。当均平衡时，保证，平衡；
反之则不然。理力（V）思考题已知坐标面上应力，
求斜面上的应力。求解：取出一个三角形微分体（包含面，
面，面），
边长y由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得2、平面问题中一点的应力状态(2)求（）主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平
主平面上的应力叫主应力。设某一斜面为主面，则只有
由此建立方程，求出:主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，
主平面上的应力叫主应力。将x，y放在方向，列出任一斜面上
应力公式，可以得出（设 ）几何方程─表示任一点的微分线段
上形变与位移之间的关系。
变形前位置：
变形后位置：－－各点的位置如图。应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。几何方程刚体位移假定⑴适用于区域内任何点，因为（x,y）A；⑷几何方程是变形后物体连续性条件
的反映和必然结果。从物理概念看，，确定，物体还可作刚体位移。由,两边对y积分，分开变量，物理意义：结论思考题物理方程的说明：物理方程的两种形式：
－－应变用应力表示，用于
按应力求解；
－－应力用应变（再用位移表示）
表示，用于按位移求解。平面应力问题的物理方程：代入得平面应力物理方程→平面应变物理方程：思考题位移边界条件－－设在部分边界上给定位移分量和,则有⑵若为简单的固定边，则有在§2－3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；⑹所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边）也必须满足。若x=a为正x面，l=1,m=0,则式(d)成为若x=-b为负x面，l=-1,m=0,则式(d)成为应力边界条件的两种表达式：在斜面上，

在±坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。例1 列出边界条件：例2 列出边界条件：显然，边界条件要求在上，也成抛物线分布。⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；例3 列出的边界条件：弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），
那么，近处的应力分量将有显著的改变，
但远处所受的影响可以不计。圣维南原理例1 比较下列问题的应力解答：
例2 比较下列问题的应力解答：圣维南原理的应用：
1.推广解答的应用；
2.简化小边界上的边界条件。圣维南原理在小边界上的应用： 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)
的条件：
在同一边界x=l上，
应力的主矢量=
面力的主矢量（给定);
应力的主矩(M)=
面力的主矩（给定）.右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；具体列出3个积分的条件：即：应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；
应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。讨论：

精确的应力边界条件积分的应力边界条件

方程个数2 3
方程性质 函数方程（难满足）代数方程（易满足）
精确性 精确 近似
适用边界 大，小边界小边界思考题⑴平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相
同。因此，两者的解答相似,只须将进行变换。以下讨论平面应力问题。⑵平面应力问题几何方程应力边界条件

位移边界条件

按位移求解（位移法）─取，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含，的方程和边界条件，从而求出，；再求形变和应力。按应力求解（应力法）－－取为基本未知函数