平面应力问题和平面应变问题.doc

对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。
因此，它们的应力分量x，y和xy也相同，应力分量xz和yz均等于零，所不同的是z向应力分量z，应变z和位移分量w。
下表列出了两种平面问题的主要差别。
平面应变问题平面应力问题z向应力分量z=(x+y)z＝0z向位移分量w＝0w≠0正应变分量上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
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虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。
由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求

这要求ez为x，y的线性函数，因此ez=ax+by+c，但平面应力问题又要求。这要求sx+sy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。

由于平面应力问题ez≠0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，ez很小，可以认为ez近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。
对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。
假如重新假定应力分量sx，sy，txy是x，y，z的函数，应力分量sz，txz和tyz仍然等于零，则可以选取新的应力函数

求解平面应力问题。如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数Y(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。
显然，新的应力函数Y(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。
根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。
对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。