2015年(全国卷II)高考理科数学.doc

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）
数学(理)试题
一、选择题(本大题共12题,共计60分)
已知集合,,则（）
A、B、C、D、
若为实数，且，则（）
A、-1B、0C、1D、2
3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下
结论中不正确的是（）

A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显
B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
已知等比数列满足，，则（）
A、21B、42C、63D、84
设函数,,则（）
A、3B、6C、9D、12
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图
如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为（）
A、B、
D、
7、过三点，，的圆与轴交于、两点，则（）

B、C、D、
8、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为14,18，则输出的（）1
0B、2C、4D、14
9、已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点。若三菱锥
体积的最大值为36，则求的表面积为（）
B、C、D、
10、如图，长方形的边，，是的中点。点沿着，
与运动，记，将点到，两点的距离之和表示为的函数,
则的图像大致为（）

A、B、

11、已知、为双曲线的左右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为
，则的离心率为（）
A、B、2C、D、
12、设函数是奇函数的导函数，，当时，
，则使得成立的的取值范围是（）
A、B、
C、D、
填空题：
设向量，不平行，向量与平行，则实数_________。
若，满足约束条件，则的最大值为_________。
的展开式中奇数次幂项的系数之和为32，则_______。
设是数列的前项和，且，，则________。
解答题
（本小题12分）
在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍。
（1）求；
（2）若，，求和的长。

（本小题12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从、两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62738192958574645376
78869566977888827689
地区：73836251914653736482
93486581745654766579
A地区︱︱B地区
｜4｜
｜5｜
｜6｜
｜7｜
｜8｜
｜9｜
根据数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。

（本小题12分）
如图，长方体中，，，，点、分别在、上，且。过点、的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。

（本小题12分）
已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与
有两个交点和，线段的中点为。
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点,延长线段与相交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时的斜率，若不能，说明理由。

（本小题12分）
设函数。
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，,都有，求的取值范围。

（本小题10分）几何证明选讲
如图，为等腰三角形内一点，⊙O与的底边交于、两
点，与底边上的高交于点，且与、分别相切于、两点。
证明：；
若等于⊙O的半径，且，求四边形的面积。

23、（本小题10分）极坐标与参数方程
在直角坐标系中，曲线：,（为参数，）其中，
在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，
：。
求与交点的直角坐标；
若与相交于点，与相交于点，求的最大值。

（本小题10分）不等式选讲
设、、、均为正数，且,证明：
（1）若，则；
（2）是的充要条件。

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