高二数学棱锥 知识精讲 人教版.doc

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高二数学棱锥知识精讲人教版

一.本周教学内容：
棱锥

二.重点、难点：
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的分类：按底面边数可把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
（3）棱锥性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
过高的中点平行于底面的截面叫做中截面。
（4）特殊的棱锥——正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥有下面一些性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高。
②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h′，那么它的侧面积是：

【典型例题】
例1.如图1，已知三棱锥S－ABC，下列命题中假命题是[]
①若SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC上的射影为△ABC的外心；
②若SA＝SB＝SC，则三棱锥为正三棱锥；
③若点S到△ABC各边的距离都相等，则点S在平面ABC上的射影为△ABC的内心；
④若SA，SB，SC两两垂直，则点S在平面ABC上的射影为△SBC的垂心。

A.①B.②③C.②④D.④③
解：设点S在平面ABC上的射影为点O，若SA＝SB＝SC，则OA＝OB＝OC。所以O为△ABC的外心。所以①是真命题。尽管O是外心，但是由于不能确定△ABC是否是正三角形，所以不能确定三棱锥是正三棱锥。所以②是假命题。
过点S分别作SE⊥AB，SF⊥BC，SM⊥AC，垂足分别为E，F，M。连结EO，OF，OM易证OE⊥AB，OF⊥BC，OM⊥AC，且OE＝OF＝OM。若点O在△ABC内部（如图2），则O为三条内角平分线的交点，O为内心；若点O在△ABC外部（如图3），则显然O不是△ABC的内心，O是△ABC一条内角平分线和两条外角平分线的交点（O是旁心）。所以③是假命题。

作点S在平面ABC上的射影O（图4）。

∵SA⊥SB，SA⊥SC∴SA⊥平面SBC
∴SA⊥BC∴BC⊥AO
同理AB⊥CO，AC⊥BO即点O为△ABC的垂心，所以④是真命题。
综上所述，答案为B。

例2.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，侧面与底面所成角为60°，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值．

分析：如图5，作SO⊥底面于O，由正三棱锥的定义知O是△ABC的中心，连结CO并延长交AB于D，则CD⊥AB，连SD
∵SO⊥底面，OD是SD在底面上的射影
∴SD⊥AB，∠SDC是侧面与底面所成二面角的平面角，∠SDC＝60°
∵△ABC是边长为a的正三角形

作BE⊥SC于E，连结AE
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACE，CE＝CE∴△BCE≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°
∴∠AEB是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角．

又∵BC·SF＝SC·BE

评注：本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起重要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形（如△ABE）．

例3.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝．（I）求四棱锥S－ABCD的体积；（11）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

解：（I）直角梯形ABCD的面积是M底面＝（BC＋AD）AB＝
∴四棱推S－ABCD的体积是

（II）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱

∵AD∥BC，BC＝2AD
∴EA＝AB＝SA，∵SA⊥平面ABCD
∴SA⊥BE
∴SAB与SAE均为等腰直角三角形∴SE⊥SB
又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．

即所求二面角的正切值为。

【疑难解析】
1.在边长为a的立方体ABCD─A1B1C1D1中，点E为AB的中点，求点A1到平面DEB1的距离。
疑难或错解：按照点到平面距离的意义求解，先设法确定点A1在平面DEB1内的射影，再通过有关线段的计算求得，这种直接的方法费时费力，并且极易出错，不是好方法．
剖析：点A1到平面DEB1的距离就是三棱锥A1─DEB1的高，设为h，则

以间接地求得。

正解：设三棱锥A1─DEB1的高为h，体积为V，则

三棱锥D─A1EB