高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容】棱柱、棱锥和棱台棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】【知识点精析】1.棱柱的有关概念和性质。（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。（2）棱柱的几个概念。这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱（4）棱柱的分类。棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。（5）棱柱的性质：①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。2.棱锥的有关概念。（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。（2）棱锥的几个概念。这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S－ABCDE，或者棱锥S－AC。（4）棱锥的分类棱锥按底面多边形的边数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥是一种特殊的棱锥，它满足以下条件：①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是底面的中心。只有正棱锥才有斜高（顶点到底边的垂线段），其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长。（5）棱锥的性质。一般棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。3.棱台的有关概念。（1）棱台的定义：棱锥被平行与底面的平面所截，两个平行平面间的几何体叫做棱台。（2）棱台的几个概念。原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点，原棱锥的高被截得的部分叫做棱台的高。（3）棱台的表示方法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台。（4）棱台的分类棱台按底面多边形的边数可以分为三棱台、四棱台、五棱台……正棱台是一种特殊的棱台，它满足以下条件：①底面是正多边形；②侧棱延长线交点在上下底面的射影分别是上下底面的中心。只有正棱台才有斜高（同一侧面与上下两个底面交线的中点连线）。（5）棱台的性质。正棱台的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形。各侧面内的斜高相等。②棱台的高线、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角梯形；棱台的高线、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角梯形。【解题方法指导】例1.已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且，BC=2，则以BC为棱，面BCD与面BCA所成二面角的大小是（）A.B.C.D.解：依题意，AB=BD=AC=CD=，BC=AD=2因此取BC中点E，联结AE、DE，则有AE⊥BC，DE⊥BC得∠AED是所求二面角的平面角∵AE=DE=∴∴∠AED点评：本题没有附图，考生必须自己作图，因而考查了基本作图能力，解题的关键是在于审题时，认清图形的对称性。例2.设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体乙：底面是矩形的平行六面体是长方体丙：直四棱柱是直平行六面体以上命题真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3思路：根据平行六面体、长方体以及直平行六面体的概念即可判断真假。解：甲命题符合平行六面体的定义，故甲命题正确。底面是矩形的平行六面体的侧棱，可能与底面不垂直，故乙命题是错误的。因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故丙命题是错误的。故选B。点评：本题关键在于明确几何体的概念、特征。例3.直三棱柱所有棱长为a，求面对角