高二数学第八节 棱锥知识精讲 人教版.doc

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高二数学第八节棱锥知识精讲人教版
1.棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

如图所示的棱锥，多边形ABCDE是底面，三角形SAB、SAC等是侧面，SA、SB等是侧棱，S是顶点SH是高.
棱锥用表示顶点和底面各顶点.如图，棱锥S—ABCDE.或者用表示顶点和底面一条对角线的端点字母来表示.如图棱锥S—BD.
棱锥按底面边数分可分为：底面是三角形的棱锥叫做三棱锥，底面是四边形的棱锥叫四棱锥，……
棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.

2.棱锥的性质.
一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比.
中截面：过棱锥的高的中点平行于底面的截面叫做棱锥的中截面.
正棱锥的性质：①各条侧棱相等；②各侧面是全等的等腰三角形；③棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.
其中各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高.

3.正棱锥的直观图画法.
因为正棱锥的直观图由底面和顶点所决定，底面的画法与直棱柱的底面画法相同，顶点和底面中心的距离，等于它的高，把顶点和底面中心的连线段画在轴上，画法是画轴——画底面——画高线——成图.
4.正棱锥的侧面积.
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.
定理：如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h′，那么它的侧面积是S正棱锥侧=ch′.
棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和.

5.棱锥的体积公式.
定理1：等底面积等高的两个锥体的体积相等.
定理2：如果三棱锥的底面积是S.高是h.那么它的体积是V三棱锥=Sh.
定理3：如果一个锥体的底面积是S.高是h，那么它的体积是V锥体=Sh.
注意：计算三棱锥的体积时，以任何一个面作为底面其体积公式仍然成立，正如棱柱的平行六面体一样，以任何一个面作为底面.体积公式V=Sh.这两个特殊几何体为后面讲到等体积法提供了模型.

【重点难点解析】
正棱锥的概念和性质以及由棱锥的高、斜高、侧棱及其射影所组成的四个直角三角形在解题中经常使用.必须重点掌握，但正棱锥的概念的记忆是本节的难点，必须准确无误.

例1下列命题中是真命题的是()
A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥
C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥
D.正四面体是正三棱锥

解解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A、B不正确，C中的各三角形没有指明共顶点，C也不正确，D是真命题，所以选D.

例2三棱锥A—BCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cosα+cosβ+cosγ=.

解如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c
由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.
记为S，侧面在底面的射影分别为S1、S2、S3
则=cosα,=cosβ,=cosγ
cosα+cosβ+cosγ===1

例3已知三棱锥S—ABC的底面面积是a，三棱锥的高是h，M、N、P、Q分别是SB、SC、AC、AB的中点，求五面体MN—PQBC的体积

解如图，过M作MD∥BA交SA于D，则D是SA的中点，连结ND，则ND∥AC
所求五面体MN—PQBC的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA—MQPN的体积之差
而VS—ABC=ah，
VS—DMN=·a·=ah，
V三棱柱DMN—APQ=S△AQP·h=ah，
∴VMN—PQBC=VS—ABC-（VS-DMN+VDMN-APQ）
=ah-(ah+ah)
=ah

例4棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比.
解设棱锥的高为h，它被截成的三部分自上而下设为h1，h2，h3，则有
()3=,()3=2,()3=.
所以h1=h,h2=(-1)h1=(-1)h，
h3=h.
所以h1∶h2∶h3=1∶(-1)∶(-).
说明求体积之比或面积之比常用相似比.
例5已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为6的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=8，M是SA的中点，过M和BC作截面交SD于N.
(1)求证：截面MBCN是梯形，并求截面的面积；
(2)求截面MBCN与底面ABCD的夹角α.
解(1)先证MN∥BC且MN≠BC.因为BC∥AD，所以AD∥截面MBCN