高考数学一轮复习 课后限时集训16 导数与函数的极值、最值 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

课后限时集训16
导数与函数的极值、最值
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一、选择题
1．函数y＝eq\f(x,ex)在[0,2]上的最大值是()
A.eq\f(1,e) B.eq\f(2,e2)
C．0 D.eq\f(1,2\r(e))
A[易知y′＝eq\f(1－x,ex)，x∈[0,2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函数y＝eq\f(x,ex)在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝eq\f(x,ex)在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝eq\f(1,e)，故选A.]
2．已知函数f(x)＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)处取得极值，则a＝()
A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,4)
C.eq\f(π,12) D．－eq\f(π,12)
C[∵f′(x)＝eq\f(a,x)－sinx，且f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，
∴eq\f(a,\f(π,6))－eq\f(1,2)＝0，即a＝eq\f(π,12)，故选C.]
3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()

A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9)
C.eq\f(16,9) D.eq\f(28,9)
C[函数f(x)的图像过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(4,9)＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,9).]
4．(2019·东莞模拟)若x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，则()
A．f(x)有极大值－1 B．f(x)有极小值－1
C．f(x)有极大值0 D．f(x)有极小值0
A[∵f(x)＝ax＋lnx，x＞0，
∴f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，
由f′(1)＝0得a＝－1，
∴f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x).
由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值，故选A.]
5．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
D[由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.]
二、填空题
6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
7．已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a＝________.
eq\f(1,e)[f′(x)＝eq\f(1,x)－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＞0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝0，解得x＝eq\f(1,a).当0＜x＜eq\f(1,a)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＞eq\f(1,a)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝lneq\f(1,a)－1＝0，解得a＝eq\f(1,e).]
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．