高考数学一轮复习 课后限时集训16 导数与函数的综合问题（含解析）理-人教版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(十六)
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()
A．3 B．2
C．1 D．0
C[设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.]
2．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
D[∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－eq\f(1,2x).
令f(x)＝x－eq\f(1,2x)，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴实数a的取值范围为(－1，＋∞)．]
3．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为()
A．3.2% B．2.4%
C．4% D．3.6%
A[设y表示收益，则存款量是kx2，贷款收益为0.048kx2，存款利息为kx3，则y＝0.048kx2－kx3，x∈(0，0.048)，y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)
令y′＝0得x＝0.032，且当x∈(0,0.032)时y′＞0，
当x∈(0.032,0.048)时y′＜0，因此收益y在x＝0.032时取得最大值，故选A.]
4．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为()
A．0 B．1
C．0或1 D．无数个
A[因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点．]
5．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
B[由题意知a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)对x∈(0，＋∞)恒成立，
令g(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)，则g′(x)＝eq\f(2,x)＋1－eq\f(3,x2)＝eq\f(x2＋2x－3,x2)，
由g′(x)＝0得x＝1或x＝－3(舍)，且x∈(0,1)时，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0.因此g(x)min＝g(1)＝4.
所以a≤4，故选B.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1][当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f′(x)＝1－eq\f(4,x2)＜0，f(x)min＝f(1)＝5.
当x∈[2,3]时，g(x)＝2x＋a是增函数，g(x)min＝4＋a.
由题意知5≥4＋a，即a≤1.]
7．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a＝________.
4或5[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＝0得x＝1或x＝2，
又当x＜1或x＞2时，f′(x)＞0，当1＜x＜2时，f′(x)＜0.
因此x＝1和x＝2分别是函数f(x)的极大值点和极小值点．
由题意知f(1)＝0或f(2)＝0，即5－a＝0或4－a＝0.
解得a＝4或a＝5.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
3023000[设该商品的利润为y元，由题意知，
y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，
则y′＝－3p2－300p＋11700，
令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，
当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，
因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23000.]