高中数学 2.1.2《演绎推理》综合测试 新人教B版选修2－2.doc

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演绎推理

一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

答案：Ａ

2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数

答案：Ｃ

3．在中，，则一定是（）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定

答案：Ｃ

4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

答案：Ｂ

5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确

答案：Ｄ

6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

答案：Ｃ

7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

答案：Ｃ

8．已知，且，则（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

答案：Ｂ

9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数

答案：Ｂ

10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案：Ｂ

11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（）
①；
②；
③；
④；
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④

答案：Ｄ

12．正整数按下表的规律排列
1 2 5 10 17

4 3 6 11 18

9 8 7 12 19

16 15 14 13 20

25 24 23 22 21

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案：Ｄ

二、填空题
13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是．

答案：满足的函数是奇函数，大前提
，小前提
所以是奇函数．结论

14．已知，用数学归纳法证明时，等于．

答案：

15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．

答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心

16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是．

答案：

三、解答题
17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．

解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．
证明如下：
在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．
于是．

18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．
求证：（1）平面；（2）．

证明：（1）取的中点，连结．
分别为的中点．
为的中位线，
，，而为矩形，
，且．
，且．
为平行四边形，，而平面，平面，
平面．
（2）矩形所在平面，
，而，与是平面内的两条直交直线，
平面，而平面，
．
又，．

19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．

20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．

证明：假设都是非负实数，因为，
所以，所以，，
所以，
这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．

21．设，（其中，且）．
（1）请你推测能否用来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

解：（1）由，
又，
因此．
（2）由，即，
于是推测．
证明：因为，（大前提）．
所以，，，（小前提及结论）
所以．

22．若不等式对一切正整数都成立