高考数学总复习 平面与空间直线.doc

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高考数学总复习平面与空间直线
一.知识回顾:
(一)平面：
1、平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）
2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
3、平面的表示：
（1）用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；
（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC
(二)三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
A,B,A,B
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(三)空间直线:
1.空间两条直线的位置关系：
（1）相交直线——有且仅有一个公共点；
（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．
异面直线的画法常用的有下列三种：

2.平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．
4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：与a是异面直线
二基本训练：
1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（）

，直线

，且不共线与重合
选
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）

选
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有（）
1个2个3个4个
选
4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面．
答案：7个．
三．例题分析：
α
D
C
B
A
E
F
H
G

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但Ad，如图1．
∴直线d和A确定一个平面α．
α
b
a
d
c
G
F
E
A
a
b
c
d
α
H
K
图1
图2
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又H，K∈c，∴c,则cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例3．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都
在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。
四