2008高考数学总复习 数列的概念.doc

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2008高考数学总复习数列的概念

●知识梳理
1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.
（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项.
（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.
2.通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.
并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.
3.数列的前n项和
数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示.
Sn与通项an的基本关系是：
an=
Sn=a1+a2+…+an.
4.数列的分类
（1）按项分类
有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.
（2）按an的增减性分类
递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an；
递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an；
摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…；
常数数列：例如：6，6，6，6，…；
有界数列：存在正数M使|an|≤M，n∈N*；
无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|＞M.
5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.
●点击双基
1.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于
A. B. C. D.
解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.
解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2.
当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.
两式相除an=（）2，
∴a3=，a5=.∴a3+a5=.
答案：A
2.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于
A. B. C.4 D.5
解析：令n=3，4，5，求a5即可.
答案：A
3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是
A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月
解法一：由Sn解出an=（－n2+15n－9），再解不等式（－n2+15n－9）＞1.5，得6＜n＜9.
解法二：将选项中的月份代入计算验证.
答案：C
4.已知an=，且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.
解析：an==1+，又44＜＜45，－＞0，故第45项最大，第44项最小.
答案：4544
●典例剖析
【例1】在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.
剖析：将递推关系式变形，观察其规律.
解：原式可化为－=n，
∴－=1，－=2，－=3，…，
－=n－1.
相加得－=1+2+…+（n－1），
∴an=.
评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.
【例2】有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.
剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.
解：∵a1＝a，an＋1＝，∴a2＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
观察规律：an＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1，
∴an＝.
评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
思考讨论
请同学总结解探索性问题的一般思路.
【例3】已知数列{an}的通项公式an=cn+，且a2=，a4=，求a10.
剖析：要求a10，只需求出c、d即可.
解：由题意知解得
∴an=n+.∴a10=×10+=.
评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.
●闯关训练
夯实基础
1.若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{