高三数学函数（二）（理）人教实验版（A）.doc

高三数学函数（二）（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
函数（二）

二.重点、难点：
1.奇偶性
（1）定义域关于原点对称
（2）
2.单调性
（1）定义：函数定义域为A，区间，若对任意且
①总有则称在M上单调递增
②总有则称在M上单调递减
（2）复合函数单调性

③求单调区间的方法
定义法、图形法、导数法、复合函数法
3.周期性
（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期。
（2）对于一个周期函数来讲，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

【典型例题】
[例1]判断下列函数奇偶性
（1）（且）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）且

∴奇函数
（2），对称

∴奇函数
（3），对称
∴既奇又偶
（4）无意义
∴非奇非偶
（5）且，对称

∴为偶函数

[例2]（1），为何值时，为奇函数；（2）
为何值时，为偶函数。
答案：（1）

∴时，奇函数
（2）

∴∴
∴

[例3]求下列函数的增区间
（1）
（2）
（3）
答案：（1），
∴
（2）作图

∴
（3）令

∴

[例4]（1）若在区间，求取值范围。
（2）若在（）上，求的取值范围。
答案：
（1）①成立
②，
∴
（2）
解集为A∴
∴

[例5]求下列函数是否为周期函数
（1），满足
（2），满足
（3），满足
（4），满足
答案：
（1）令∴
∴
∴T=2周期函数
（2）
∴T=4周期函数
（3）∴T=4
（4）

∴T=8

[例6]，偶函数，奇函数，则。
答案：奇
偶
∴∴
∴
奇∴

[例7]（1）设，其中是常数，，已知=2007，求；（2）已知函数是偶函数，且当时，。求当时，的表达式。
解析：（1）设，显然为奇函数，
故有
又，∴
（2）当时，，∴
∴

[例8]已知定义在R上的偶函数满足对于恒成立，且，则。
答案：1
解析：由得
∴
∴是以4为周期的周期函数
∴
又为偶函数∴
在中，令，则有，即有
而∴∴

[例9]已知函数的定义域为R，且满足。
（1）求证：是周期函数；
（2）若为奇函数，且当时，，求使的所有x。

解：（1）∵
∴
∴是以4为周期的周期函数
（2）当时，，设，则
∴，即，∴
故，又设1，则
∴
又知
∴∴
∴
由上式知在上，仅有，由是周期函数，得的所有
从下图可看出的x的值为

[例10]设函数在（－∞，+∞）上满足，且在闭区间[0，7]上，只有。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解析：本题考查函数的奇偶性、方程解的个数等基础知识，考查学生的逻辑推理能力。
（1）由得函数的对称轴为x=2和x=7，从而知函数y=f（x）不是奇函数，由
，从而知函数的周期为，又，而，故函数是非奇非偶函数
（2）

又
故在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解，所以函数在[－2005，2005]上有802个解。

[例11]已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。
分析：利用定义判定函数的性质。
解析：x需满足，由得
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意，有

所以是奇函数
研究在（0，1）内的单调性，任取，且设，则

由，得，即在（0，1）内单调递减
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减

[例12]已知函数的定义域是（0，+∞），当时，，且。
（1）求；
（2）证明在定义域上是增函数；
（3）如果，求满足不等式的x的取值范围。
解析：（1）令，得，故
（2）证明：令，得，故
任取，且，则
由于，故，从而
∴在（0，+∞）上是增函数
（3）由于，而，故
在中，令，得
又，故所给不等式可化为
即，∴，解得
∴的取值范围是

[例13]函数的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意，有；
②对任意，有；
③。
（1）求f（0）的值；
（2）求证：在R上是单调增函数；
（3）若，且，求证：
解析：（1）令得，∵，∴
（2）证明：任取且
设，则
∴
∵，∴
∴在R上是单调增函数
（3）证明：由（1）（2）知，∴
∵，
∴
而∴
∴

【模拟试题】
1.为R上的偶函数，则它所有零点之和为（）
A.4B.2C.0D.不确定
2.若方程在（0，1）内恰有一解，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.已知二次函数满足，且有两个实根，则（）
A.0B.3C.6D.不能确定
4.若已知，则下列说法中正确的是（）
A.在（）上必有且只有一个零点
B.在（）上必有正奇数个零点
C.在（）上必有正偶数