高三数学函数（三）（理）人教实验版.doc

高三数学函数（三）（理）人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：函数（三）二.重点、难点：1.求反函数（1）判断是否有反函数（2）将看成关于的方程y为参数，解出（3）改写为习惯形式（注明定义域）2.图象（1）基本函数图象（2）函数图象的平移、伸缩（3）含绝对值函数图象的画法（4）利用图象解题【典型例题】[例1]求下列函数反函数（1）（2）答案：（1）∴（2）∴[例2]一次函数，反函数还是自己，求答案：设∴∴或∴或（）[例3]为何值时，方程有两个不等实根答案：作函数的图象使两个图象恰有两个不同的交点∴无解一解两解[例4]方程，的解为，求。答案：作图：A、B关于P对称，∴[例5]对一切，（1）求f（0）（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性答案：（1）令（2）令∴∴奇函数[例6]，对一切满足（1）求f（1）（2）求证：（3）若时，恒成立，判断并证明的单调性答案：（1）∴（2）令∴∴（3）任取∵∴∴减函数[例7]，对一切有且（1）求f（0）（2），不等式恒成立，求的范围答案：（1）令令∴（2）显然不成立时，如图∴[例8]解答下列问题：（1）若点（4，3）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求函数的解析式；（2），的图象与的图象关于直线对称，求的值；（3）如果函数的图象关于直线对称，求实数的值。解析：（1）∵（4，3）在的图象上∴①∵（4，3）在其反函数图象上∴（3，4）在其原函数图象上，即∴②①－②得，代入①得∴（2）因为所以，所以所以由，解得所以（3）∵的图象关于直线对称∴的反函数就是的自身由得即∴∴∵∴[例9]已知函数且。（1）求函数的反函数；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式。解析：（1）化简得，令，则∴∴所求反函数为（2）∵∴为奇函数（3）当时，原不等式可化为即，解得当时，原不等式可化为而解得∴综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。[例10]已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）。（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求的取值范围。解析：（1）∵的解集为（1，3）∴，且，因而①由方程得②因为方程②有两个相等的根所以即解得或由于，舍去将代入①得的解析式为（2）由又，可得的最大值为由解得或故当的最大值为正数时，实数的取值范围是[例11]已知函数，当时，；当时，。（1）求在[0，1]上的值域；（2）c为何值时，的解集为R？解析：由题目知的图象是开口向下，交x轴于点A和B（2，0）的抛物线，对称轴方程为那么，当和时，有代入原式得解得或经检验知不符合题意，舍去∴（1）由题意知，函数在[0，1]上单调递减所以，当时，，当时，∴在[0，1]上的值域为[12，18]（2）令要使的解集为R，则需要方程的根的差别式，即，解得∴当时，的解集为R[例12]已知函数的图象与曲线C关于y轴对称，把曲线C沿x轴负方向平移一个单位后，所得到的图象恰好是函数的图象。（1）求函数的解析式及其定义域；（2）若实数满足，，求证：；（3）在（2）的条件下，如果，求证：。解析：（1）根据题意，只需将的图象先沿x轴正方向平移一个单位，再作关于y轴对称的图象，即可得的图象，故所求解析式为，其定义域为。（2）证明：由得即∵∴∴∴又∴且，即（3）证明：由得∵∴∴∴即又，∴∴[例13]集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于任意的，且，都有。（1）试判断及是否在集合A中？说明理由；（2）设，且定义域是，值域是（1，2），，写出一个满足以上条件的的解析式；并证明你写出的函数。解析：（1）取，则∴存在，且使得∴任取且，研究∴∴（2）设函数，满足其值域为（1，2），且。又任意取，且，则∴[例14]设定义域为R的函数满足：对于任意的实数都有成立，且当时，恒成立。（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；（2）若函数在上总有成立，试确定应满足的条件；（3）解关于x的不等式（n是一个给定的正整数，且）解析：（1）由已知对于任意恒成立令，得∴令，得∴对于任意x，都有∴是奇函数（2）设任意，且，则，由已知①又②由①②得，根据函数单调性的定义知在上是减函数。∴在上的最大值为。要使恒成立，当且仅当又∵∴（3）由已知得∴∵在上是减函数∴，即∵∴讨论：①当，即时，原不等式的解集为或；②当，即时，原不等式的解集为；③当，即时，原不等式的解集为或。[例15]设（为实常数）（1）当时，用函数的单调性定义证明：在R上是增函数；（2）当时，若函数的图象与的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）当时，求关于x的方程在实数集R上的解。解析：（1）证明：设，则，由，知，又由，得因此，即，故是R上的增函数（2）设是函数的图象上任意一点，则点关于直线的对称点在的图象上，因此，即（3）由，得设，则方程化为由知，方程的根为，所以或（舍去）所以原方程的