【优化指导】2013高考数学总复习 第8章 第9节 曲线与方程课时演练 新人教A版.doc

课时作业曲线与方程
一、选择题
1．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是()

解析：∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.
答案：C
2．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线．
答案：D
3．(2012晋城模拟)已知点P(x，y)对应的复数z满足|z|＝1，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是()
A．圆 B．抛物线的一部分
C．椭圆 D．双曲线的一部分
解析：由题意知x2＋y2＝1，
∴(x＋y)2－2xy＝1.
令x＋y＝m，xy＝n，
则有m2－2n＝1，
∴m2＝2n＋1.
又∵2|xy|≤x2＋y2＝1，
∴－eq\f(1,2)≤n≤eq\f(1,2).
∴点Q的轨迹是抛物线的一部分．
答案：B
4．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()
A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x＞1) B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x＜－1)
C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x＞0) D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x＞1)
解析：设另两个切点为E、F，如图所示，
则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，
|NF|＝|NB|.
从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|
＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，
所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a＝1，c＝3，
∴b2＝8.
故方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x＞1)．
答案：A
5．(重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
解析：如图，异面直线l1，l2的公垂线段为AB，l2⊂α，l1∥α，PC⊥l2于C，PE⊥l1于E，且PE＝PC，在α内建系如图，
设P(x，y)，
则d2＋x2＝y2，
即y2－x2＝d2，
故点P的轨迹为双曲线．
答案：D
6．(金榜预测)动点P为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为()
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
解析：如图所示，设三个切点分别为：M、N、Q.
∴|PF1|＋|PF2|
＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|
＝|F1N|＋|F2N|
＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，
∴|F2N|＝a－c，
∴N点是椭圆的右顶点，
∴CN⊥x轴，
∴圆心C的轨迹为直线．
答案：D
二、填空题
7．(2012济南模拟)从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，
则N(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，①
∴2x－x1＋2y－y1＝2.
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴eq\f(y－y1,x－x1)＝1，
即x－y＋y1－x1＝0.②
由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,2)x＋\f(1,2)y－1，,y1＝\f(1,2)x＋\f(3,2)y－1.))
又∵Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝1.
∴(eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)y－1)2－(eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)y－1)2＝1.
整理，得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0
即为中点P的轨迹方程．
答案：2x2－2y2－2x＋2y－1＝0
8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝eq\f(1,3)AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．
解析：过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，
连结PH、PM，可证PH⊥A1D1，
设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，
得x2＋1－[(x－eq\f(1,3))2＋y2]＝1，
化简得
y2＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,9).
答案：y