高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6.3平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1平面向量基本定理
[目标]1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
[重点]平面向量基本定理．
[难点]平面向量基本定理的应用．
要点整合夯基础
知识点平面向量基本定理
[填一填]
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[答一答]
1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2．如图，设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(ON,\s\up15(→))？

提示：能.过点P作OA、OB的平行线，分别与OB、OA相交，交点即为N、M.
3．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.

典例讲练破题型
类型一基底的概念
[例1]下面说法中，正确的是()
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④B．②③④
C．①③D．①③④
[解析]因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．
[答案]B

根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.

[变式训练1]设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(B)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
类型二用基底表示向量
[例2]如图所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up15(→))与eq\o(BM,\s\up15(→))交于点P，用向量a、b表示eq\o(OP,\s\up15(→)).

[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
[解]∵eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(MP,\s\up15(→))，eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))＋eq\o(NP,\s\up15(→))，
设eq\o(MP,\s\up15(→))＝meq\o(MB,\s\up15(→))，eq\o(NP,\s\up15(→))＝neq\o(NA,\s\up15(→))，
则eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))＋meq\o(MB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，
eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))＋neq\o(NA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2