高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标]1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点]平面向量基本定理．[难点]平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填](1)定理：如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)若e1e2不共线我们把{e1e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．[答一答]1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1e2不共线这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图设OA、OB、OC为三条共端点的射线P为OC上一点能否在OA、OB上分别找一点M、N使eq\o(OP\s\up15(→))＝eq\o(OM\s\up15(→))＋eq\o(ON\s\up15(→))？提示：能.过点P作OA、OB的平行线分别与OB、OA相交交点即为N、M.3．若向量ab不共线且c＝2a－bd＝3a－2b试判断cd能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c＝λd则2a－b＝λ(3a－2b)即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于ab不共线从而2－3λ＝2λ－1＝0这样的λ是不存在的从而cd不共线故cd能作为基底.典例讲练破题型类型一基底的概念[例1]下面说法中正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1e2使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④[解析]因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底故②③正确①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．[答案]B根据平面向量基底的定义知判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题若不共线则它们可以作为一组基底；若共线则它们不能作为一组基底.[变式训练1]设{e1e2}是平面内所有向量的一个基底则下列四组向量中不能作为基底的是(B)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：在B中因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底其他三个选项中的两组向量都不平行故都可以作为一组基底．类型二用基底表示向量[例2]如图所示在△OAB中eq\o(OA\s\up15(→))＝aeq\o(OB\s\up15(→))＝bM、N分别是边OA、OB上的点且eq\o(OM\s\up15(→))＝eq\f(13)aeq\o(ON\s\up15(→))＝eq\f(12)b设eq\o(AN\s\up15(→))与eq\o(BM\s\up15(→))交于点P用向量a、b表示eq\o(OP\s\up15(→)).[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数进而确定λ1λ2.[解]∵eq\o(OP\s\up15(→))＝eq\o(OM\s\up15(→))＋eq\o(MP\s\up15(→))eq\o(OP\s\up15(→))＝eq\o(ON\s\up15(→))＋eq\o(NP\s\up15(→))设eq\o(MP\s\up15(→))＝meq\o(MB\s\up15(→))eq\o(NP\s\up15(→))＝neq\o(NA\s\up15(→))则eq\o(OP\s\up15(→))＝eq\o(OM\s\up15(→))＋meq\o(MB\s\up15(→))＝eq\f(13)a＋m(b－eq\f(13)a)＝eq\f(13)(1－m)a＋mbeq\o(OP\s\up15(→))＝eq\o(ON\s\up15(→))＋neq\o(NA\s\up15(→))＝eq\f(12)(1－n)b＋na.∵a与b不共线∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(13)1－m＝n\f(12)1－n＝m))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(25)n＝\f(15).))∴eq\o(OP\s\u