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第1讲空间中的平行与垂直 [考情考向分析]自从江苏实施新课标以来,命题者严格执行江苏高考对立体几何的考试说明要求,大幅度降低难度,命题的焦点是空间平行与垂直.试题总体在送分题的位置,但是对考生的规范答题要求比较高. 热点一空间线面关系的判定 例1(1)若直线a与平面α不垂直,则在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 答案无数 (2)(2018·江苏泰州中学调研)已知a,b,c是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,那么下列命题中正确的序号为________.(填序号) ①若a⊥c,b⊥c,则a∥b;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β. 答案③④ 解析可以借助长方体进行判断,①中的a,b也可能相交或异面;②中的α,β可能相交,③④正确. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中. 跟踪演练1 如图,平面α与平面β相交于BC,AB⊂α,CD⊂β,点A∉BC,点D∉BC,则下列叙述正确的是________.(填序号) ①直线AD与BC是异面直线; ②过AD只能作一个平面与BC平行; ③过AD只能作一个平面与BC垂直; ④过D只能作唯一平面与BC垂直,但过D可作无数个平面与BC平行. 答案①②④ 解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线;在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行,这条直线与AD确定一个平面与BC平行,即过AD只能作一个平面与BC平行;若AD垂直于平面α,则过AD的平面都与BC垂直,因此③错;过D只能作唯一平面与BC垂直,但过D可作无数个平面与BC平行.故①②④正确. 热点二直线与平面的平行与垂直 例2(2018·江苏扬州中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点. (1)求证:FG∥平面PBD; (2)求证:BD⊥FG. 证明(1)连结PE,因为G,F分别为EC和PC的中点, ∴FG∥PE, 又FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD, ∴FG∥平面PBD. (2)∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA, ∵PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC, ∵FG⊂平面PAC,∴BD⊥FG. 思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证明线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质,即要证两线垂直,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a. 跟踪演练2(2018·苏锡常镇四市调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ADB=90°,CB=CD,点E为棱PB的中点. (1)若PB=PD,求证:PC⊥BD; (2)求证:CE∥平面PAD. 证明(1)取BD的中点O,连结CO,PO, 因为CD=CB, 所以△CBD为等腰三角形, 所以BD⊥CO. 因为PB=PD,所以△PBD为等腰三角形,所以BD⊥PO. 又PO∩CO=O,PO,CO⊂平面PCO, 所以BD⊥平面PCO. 因为PC⊂平面PCO,所以PC⊥BD. (2)由E为PB的中点,连结EO,则EO∥PD, 又EO⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以EO∥平面PAD. 由∠ADB=90°及BD⊥CO,可得CO∥AD, 又CO⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以CO∥平面PAD. 又CO∩EO=O,CO,EO⊂平面COE, 所以平面CEO∥平面PAD, 而CE⊂平面CEO,所以CE∥平面PAD. 热点三平面与平面的平行与垂直 例3(2018·江苏盐城中学模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,点P是CD中点,点Q是A1B1中点. (1)求证:AQ∥平面PBC1; (2)若BC=CC1,求证:平面A1B1C⊥平面PBC1. 证明(1)取AB中点为R,连结PR,B1R. 由已知点P是CD中点,点Q是A1B1中点可以证得, 四边形AQB1R,PRB1C1都为平行四边形, 所以AQ∥B1R,B1R∥PC1,所以AQ∥PC1, 因为AQ⊄平面PBC1,PC1⊂平面PBC1, 所以AQ∥平面