高中数学 第七章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

7．2复数的四则运算
7．2.1复数的加、减运算及其几何意义
[目标]1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则；2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[重点]复数加法与减法的运算法则．
[难点]复数加法与减法的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一复数加法与减法的运算法则
[填一填]
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．加法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
[答一答]
1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？
提示：两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
知识点二复数加法与减法的几何意义
[填一填]
如图，设eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，则eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d).eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a－c，b－d)．这说明两个向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))与eq\o(OZ2,\s\up15(→))的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，eq\o(OZ1,\s\up15(→))与eq\o(OZ2,\s\up15(→))的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up15(→))，与z1－z2对应的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)).

[答一答]
3．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别是eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))，那么向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？
提示：由复数与平面向量的一一对应可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，故eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d)．由复数加法的几何意义可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))即为z1＋z2对应的向量，故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋b，c＋d)．
4．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？
提示：表示Z1与Z2两点间的距离．
5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？
提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
典例讲练破题型
类型一复数的加减法运算
[例1](1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
[分析]复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．
[解](1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.

1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.
2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.
3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.
[变式训练1]设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(D)
A．1－5iB．－2＋9iC．－2－iD．5＋3i
解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i