高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列的概念学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

2．3.1等比数列的概念
学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．

知识点一等比数列的概念
思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…； ②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；
③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….

梳理等比数列的概念和特点．
(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的________一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义：eq\f(an,an－1)＝q(n>1)(或eq\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)．
(3)等比数列各项均________为0.

知识点二等比中项的概念
思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？

梳理等差中项与等比中项的异同，对比如下表：

对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有实数等比中项

类型一等比数列的判定
例1判断下列数列是不是等比数列．
(1)0,1,2,4；(2)1,1,1,1；(3)0.1,0.01,0.001,0.0001；
(4)3，－3eq\r(3)，9，－9eq\r(3).

反思与感悟(1)等比数列任一项均不为0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数．
跟踪训练1根据下列条件，写出等比数列的前4项．
(1)a1＝1，q＝2；(2)a1＝－1，q＝2；(3)a1＝1，q＝－2；
(4)a1＝－1，q＝－2.

类型二证明等比数列
例2已知数列{an}满足a1＝eq\f(7,8)，且an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，n∈N*.
求证：{an－eq\f(2,3)}是等比数列．

反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即eq\f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数)．
跟踪训练2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；

(2)证明：数列{an}是等比数列．

1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3＝________.
2．若等比数列的首项为4，公比为2，则这个数列的第6项为________．
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则公比q＝________.
4．45和80的等比中项为________．

1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：eq\f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±eq\r(ab))，而不是一个(eq\r(ab))，这是容易忽视的地方．

答案精析
问题导学
知识点一
思考从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
梳理
(1)二前比同一个公比
(3)不能
知识点二
思考设这个数为G.则eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．
题型探究
例1解(1)eq\f(1,0)无意义，不是等比数列．
(2)每项与前一项的比均为1，是等比数列．
(3)eq\f(0.01,0.1)＝0.1，eq\f(0.001,0.01)＝0.1，eq\f(0.0001,0.001)＝0.1，是等比数列．
(4)－eq\f(3\r(3),3)＝－eq\r(3)，eq\f(9,－3\r(3))＝－eq\r(3)，eq\f(－9\r(3),9)＝－eq\r(3)，是等比数列．
跟踪训练1解(1)a1＝1，a2＝a1×2＝2，a3＝a2×2＝4，a4＝a3×2＝8.
(2)a1＝－1，a2＝a1×2＝－2，a3＝a2×2＝－4，a4＝a3×2＝－8.
(3)a1＝1，a2＝a1×(－2