高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案.doc

第1课时等差数列的前n项和
学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．
2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养．

1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?
[提示]an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn－Sn－1（n≥2），,S1（n＝1）.))
2．等差数列的前n项和公式
已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
[提示]S3＝eq\f(3（a1＋a3）,2)＝3a2＝21.

1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝()
A．230B．420C．450D．540
B[S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20×2＋20×19＝420.]
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝．
eq\f(n（n＋1）,2)[因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋eq\f(n（n－1）,2)×1＝eq\f(2n＋n2－n,2)＝eq\f(n2＋n,2)＝eq\f(n（n＋1）,2).]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝．
24[由S10＝eq\f(10（a1＋a10）,2)＝120.解得a1＋a10＝24.]
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，则S6＝．
48[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋eq\f(4×3,2)×d＝20，即4×eq\f(1,2)＋eq\f(4×3,2)d＝20，
解得d＝3，所以S6＝6×eq\f(1,2)＋eq\f(6×5,2)×3＝3＋45＝48.]

等差数列前n项和的有关计算
【例1】在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝eq\f(5,6)，an＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[解](1)由题意得，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(3,2))),2)＝－5，解得n＝15.又a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，
∴d＝－eq\f(1,6).∴n＝15，d＝－eq\f(1,6).
(2)由已知得S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝eq\f(8（4＋a8）,2)＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.

等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)结合使用．

eq\a\vs4\al([跟进训练])
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
[解](1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝5，,a6＝a1＋5d＝10，))
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)S17＝eq\f(17×（a1＋a17）,2)＝eq\f(17×（a3＋a15）,2)＝eq\f(17×40,2)＝340.

an与Sn的关系的应用
[探究问题]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示]使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？
[提示]a2016＋a2017＋a2018＝