高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和（第1课时）等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案.doc

-7-第1课时等差数列的前n项和学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用培养数学运算素养.2.借助等差数列前n项和的实际应用培养学生的数学建模及数学运算素养.1．数列的前n项和的概念一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和用Sn表示即Sn＝a1＋a2＋…＋an．思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn－Sn－1（n≥2）S1（n＝1）.))2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）2)d思考：等差数列{an}中若已知a2＝7能求出前3项和S3吗？[提示]S3＝eq\f(3（a1＋a3）2)＝3a2＝21.1．在等差数列{an}中已知a1＝2d＝2则S20＝()A．230B．420C．450D．540B[S20＝20a1＋eq\f(20×192)d＝20×2＋20×19＝420.]2．等差数列{an}中a1＝1d＝1则其前n项和Sn＝________．eq\f(n（n＋1）2)[因为a1＝1d＝1所以Sn＝n＋eq\f(n（n－1）2)×1＝eq\f(2n＋n2－n2)＝eq\f(n2＋n2)＝eq\f(n（n＋1）2).]3．在等差数列{an}中S10＝120那么a1＋a10＝________．24[由S10＝eq\f(10（a1＋a10）2)＝120.解得a1＋a10＝24.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn若a1＝eq\f(12)S4＝20则S6＝________．48[设等差数列{an}的公差为d由已知得4a1＋eq\f(4×32)×d＝20即4×eq\f(12)＋eq\f(4×32)d＝20解得d＝3所以S6＝6×eq\f(12)＋eq\f(6×52)×3＝3＋45＝48.]等差数列前n项和的有关计算【例1】在等差数列{an}中(1)已知a1＝eq\f(56)an＝－eq\f(32)Sn＝－5求n和d；(2)已知a1＝4S8＝172求a8和d.[解](1)由题意得Sn＝eq\f(n（a1＋an）2)＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(56)－\f(32)))2)＝－5解得n＝15.又a15＝eq\f(56)＋(15－1)d＝－eq\f(32)∴d＝－eq\f(16).∴n＝15d＝－eq\f(16).(2)由已知得S8＝eq\f(8（a1＋a8）2)＝eq\f(8（4＋a8）2)＝172解得a8＝39又∵a8＝4＋(8－1)d＝39∴d＝5.∴a8＝39d＝5.a1dn称为等差数列的三个基本量an和Sn都可以用这三个基本量来表示五个量a1dnanSn中可知三求二一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解在求解过程中要注意整体思想的运用．1．在等差数列{an}中(1)已知a6＝10S5＝5求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40求S17.[解](1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝5a1＋\f(5×42)d＝5a6＝a1＋5d＝10))解得a1＝－5d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16S10＝10a1＋eq\f(10×92)d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝eq\f(17×（a1＋a17）2)＝eq\f(17×（a3＋a15）2)＝eq\f(17×402)＝340.an与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数列{an}的前n项和为Sn则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？[提示]使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sna2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？[提示]a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.3．已知数列{an}的通项公式an可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之如果知道了数列{an}的前n项和Sn如何求出它的通项公式？[提示]对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋anSn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此当n≥2时有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时有a1＝S1.所以an与Sn的