新教材2020-2021学年数学人教A数学必修第二册配套学案8.6.2-直线与平面垂直含解析.doc

8.6.2直线与平面垂直
学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)
4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点)1.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
1．直线与平面垂直的定义
定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关
概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角
有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°取值范围[0°，90°]思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行
②作平行线5.直线与平面、平面与平面的距离
(1)直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．()
(2)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．
()
(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．()
(4)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()
A．平面OABB．平面OAC
C．平面OBCD．平面ABC
C[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
3．在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面ABCD的距离为______，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
44[根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知，直线A1B1到平面ABCD的距离为4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.]
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45°[如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD