matlab矩阵LU分解.pdf

矩阵的LU分解
一、原理
定理：设ACnn，如果A的顺序主子式

a11a12a1n1
aaaaa
111221222n1
a110，0，…，0
a13a14

an11an12an1n1

则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵U，使得

A=LU.

证明：对矩阵A的阶数使用数学归纳法.

显然，当n=1时，a111a11就是唯一的分解式.现假定对n-1阶矩阵，定理的结论成立.
对A进行分块
An11
AT
2nn
n1
其中1,2C.由于n-1阶矩阵An1的k阶顺序主子式就是A的k阶主子式

（k=1,2，…，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，An1有唯一的LU分解

ALUn1n1n1

其中Ln1的主对角线上的元素都是1.由于

a11a12a1n1
aaa
ALU21222n10
n1n1n1

an11an12an1n1

所以，Ln1及Un1是n-1阶可逆矩阵.
先假设已有A=LU，其中
L0U
n1，n1
LUTT
10b
nn

,Cn1是待定向量.作乘积

LULAn1n1n1n11
LUTTTA
Un1bnn2nn

TTT
则,必须满足LUn11,n12，nnbnn

因为Ln1及Un1都是可逆的，则由上式可以唯一确定
1TTT1
Ln11,,2Un1bnnnn
这就证明了A的LU分解的存在性和唯一性.

二、算法
当n阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出L和U.

因为当A=LU时，由于L可逆，故必存在可逆矩阵P组

P=PL

即PA=PLU=U.也就是说，可以先对A施行行的初等变换得出上三角矩阵U，而矩阵P可以

通过对单位矩阵I进行相同的行初等变换得出，即P（A，I）=（PA，PI）=（U，P）

于是APU1，为保持P为下三角矩阵（从而P1也是下三角矩阵），在进行行初等变换

时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.

步骤：

1.判断目标矩阵是不是nn矩阵，若是则继续进行，若不是则提示该矩阵无法进行LU

分解；

2.分别计算目标矩阵的n-1阶顺序主子式，判断是不是等于零，若等于零，则提示该矩阵

无法进行LU分解，若都不等于零，则继续进行；

3.设定n阶单位矩阵L和全零矩阵U；

4.U的第一行u1ja1jj=1，2，…，n
5.L的第一列
a
li1i=2，3…，n
i1u
11

6.U的第r行（逐行算出）

r1
r=1，2，…，n
urjarjlrkukj
k1j=r，…，n

7.L的第r列（逐列算出）

r1
airlikukr
lk1r=1，2，…n-1
iru
rri=r+1，…，n

三、程序
%functionf=LU_decom(A)
[m,n]=size(A)
ifm~=n
fprintf('Error:mandnmustbeequal!m=%d,n=%d\n',m,n)
end
fori=1:n-1
if(det(A(1:i,1:i))==0)
fprintf('Error:detA(%d,%d)=0!\n',i,i)
flag='failure'
return;
else
flag='ok';
end
end
L=eye(n);
U=zeros(n);
fori=1:n
U(1,i)=A(1,i);
end
forr=2:n
L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);
end
fori=2:n
forj=i:n
z=0;
forr=1:i-1
z=z+L(i,r)*U(r,j);
end
U(i,j)=A(i,j)-z;
end
ifabs(U(i,i))<eps
flag='failure'
return;
end
fork=i+1:n
m=0;
forq=1:i-1
m=m+L(k,q)*U(q,i);
end
L(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i);
end
end
L
U
四、分析

211

410

221

程序运行结果：

L=

100

210

-1-31

U=

211

0-1-2

00-4