高考数学课标版-文科一轮复习专题-三角函数的图象及性质.pptx

第四章三角函数§4.2三角函数的图象及性质考点二三角函数的图象及其变换
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:2.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的步骤

上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单
位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
知识拓展
三角函数的综合应用
1.三角函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的定义域为R;y=Atan(ωx+φ)的定义域为 .
2.函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最大值为|A|,最小值为-|A|;函数y=Atan(ωx+φ)的值域为R.
3.函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴为x= - + (k∈Z),对称中心为
 (k∈Z);函数y=Acos(ωx+φ)图象的对称轴为x= - (k∈Z),对称中心为 (k∈Z);函数y=Atan(ωx+φ)图象的对称中心为
 (k∈Z).
4.函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的图象与x轴的交点都为对称中心,过波峰、波谷且垂直于x轴的直线都为对称轴.
5.函数y=Atan(ωx+φ)的图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点都为对称中心,无对称轴.
6.求三角函数最值常见的函数形式
(1)y=asinx+bcosx= sin(x+φ),其中cosφ= ,sinφ= .
(2)y=asin2x+bcos2x(a,b≠0) y=Asin2x+Bcos2x= ·sin(2x+φ),其中tanφ= ,再利用有界性处理.
(3)y=asin2x+bcosx+c(a≠0)可转化为关于cosx的二次函数式.
(4)y=asinx+ (a,b,c>0),令sinx=t,则转化为求y=at+ (-1≤t≤1,且t≠
0)的最值,一般可结合图象求解.
(5)y=a(sinx+cosx)+bsinx·cosx+c型常用换元法,令t=sinx+cosx,|t|≤ ,
则sinxcosx= ,把三角问题转化为代数问题求解.注意新元的取值范
围.由图象确定三角函数解析式的方法
确定解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的步骤和方法:
(1)求A,B.先确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= .
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω= .
(3)求φ的常用方法:
①代入法.把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,ω,B可知)或代入图象与直线y=B的交点坐标求解(此时要注意交点的横坐标是在递增区间上,还是在递减区间上).
②“五点法”.确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体步骤如下:选“第一个点”(即图象上升时与直线y=B的交点)时,令ωx+φ=0;选“第二个点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+φ= ;选
“第三个点”(即图象下降时与直线y=B的交点)时,令ωx+φ=π;选“第四个点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+φ= ;选“第五个点”时,令ωx+φ
=2π.例1(2016课标全国Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (A)
A.y=2sin 
B.y=2sin 
C.y=2sin 
D.y=2sin 解析由题图可知A=2, = - = ,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),
因为题图经过点 ,所以2sin =2,所以 +φ=2kπ+ ,k∈Z,
即φ=2kπ- ,k∈Z,当k=0时,φ=- ,所以y=2sin ,故选A.三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法
1.三角函数周期的求解方法:①定义法;②公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T= ,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=
 ;③图象法:对于含有绝对值符号的三角函数的周期可画出函数的图
象,从而观察出周期大小;④转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变换将其转化为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B)的类型,再利用公式法求得.
2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:①熟记以下各函数图象的对称轴与对称中心:y=sinx图象的对称轴为x=kπ+ ,k∈Z,对称中心
为(kπ,0),k∈Z;y=cosx图象的对称轴为x=kπ,k∈Z,对称中心为 ,k∈Z;y=tanx图象的对称中心为 ,k∈Z,无对称轴.②利用整体代换
思想求解函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴和对称中心,令ωx+φ=kπ+ ,k
∈Z,解得x