高考数学课标版-文科一轮复习专题-椭圆及其性质.pptx

第九章平面解析几何§9.3椭圆及其性质考点二直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程 + =1(a>b>0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+
Bx+C=0(A≠0)的形式,则:2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
|AB|= 
= · 
= 
= · (k为直线斜率,k≠0).
3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1、F2构成的△PF1F2称作焦点三角形.设∠F1PF2=θ.
(1)|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ;(3) = |PF1||PF2|sinθ= ·b2=b2·tan =c·|y0|.
其中当|y0|=b,即P为短轴端点时,△PF1F2的面积最大,最大面积是bc.
拓展延伸
1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径,|AB|= .

2.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率之积为定值- .求椭圆标准方程的方法
1.定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
2.待定系数法:根据椭圆焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出椭圆的标准方程.
3.当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为 + =1(m>0,
n>0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
例1(1)(2017河南部分重点中学联考,11)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2 ,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭
圆C的方程为 (C) 
A. + =1B. + =1
C. + =1D. + =1
(2)(2017湖北武汉调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为.解题导引
(1)设椭圆的右焦点为F' 在△PFO中,利用余弦
定理得cos∠POF的值 在△POF'中,得
|PF'|=8 由椭圆定义得a=6 得b2,求出
椭圆方程
(2)设出所求椭圆方程 根据已知条件列出关于
a,b,c的方程组 解方程组得a,b,c 得椭圆方程解析(1)设F‘为椭圆的右焦点,连接PF’,在△POF中,由余弦定理,得cos∠POF= = ,则|PF'|=
 =8,由椭圆定义,知2a=4+8=1
2,所以a=6,又c=2 ,所以b2=16.故椭圆C的方程为 + =1.
(2)∵椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,
∴可设椭圆方程为 + =1(a>b>0),
∵P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
∴ 又a2=b2+c2,
∴a=2 ,b= ,c= ,∴椭圆方程为 + =1.
求椭圆的离心率(范围)的方法
1.求解椭圆离心率常用的方法:①若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,从而利用公式e= 直接求解;②若椭圆的方
程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的等式,化为关于a,c的齐次方程,进而转化为关于e的方程进行求解,最后注意e的取值范围.
2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关于a,c的齐次不等式进行求解.A. B. 
C. D. 解析直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得
 ≥ ,即b≥1.所以e2= = = ≤ ,又0<e<1,所以e∈
 ,故选A.例3(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =
1(a>b>0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭
圆的离心率是.
 解题导引
由题中条件求得
点B,C的坐标 由 · =0得出关于
a,b,c的方程 利用b2=a2-c2建立关于
a,c的方程 由e= 转化为关于e的方程 得e的值解析由已知条件易得B ,C ,
F(c,0),∴ = , = ,
由∠BFC=90°,可得 · =0,
所以  + =0,
c2- a2+ b2=0,
即4c2-3a2+(a2-c2)=0,
亦即3c2=2a2,
所以 = ,则e= = .与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法
1.直线与椭圆位置关系的判断方法:直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式