矩阵的奇异值分解ppt课件.ppt

线性代数的几个基本概念引言
数学的表述方式和抽象性产生了全面的升华!按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化、系统性表述的，具有很强的逻辑性、抽象性，是第二代数学模型.通常的教学模式
概念——相应定理公式——例题求解向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息.
线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式.
矩阵是什么？
矩阵的乘法规则怎样定义？
矩阵的相似是什么意思？

特征值的本质是什么？

纯粹的数学理论描述、证明不能令人满意和信服！一、线性空间和矩
阵的几个核心概念基本定义:
存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间.三维的空间
由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
这些点之间存在相对的关系；
可以在空间中定义长度、角度；
这个空间可以容纳运动.容纳运动是空间的本质特征

“空间”是容纳运动的一个对象
集合，而空间的运动由变换所规定.矩阵
矩阵是什么？
1.矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则.
2.矩阵是一列列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值.
3.矩阵是一个图像，它的每一个元素代表相对位置的像素值.4.矩阵是一个线性变换，它可以将一些向量变换为另一些向量.矩阵与线性变换.在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动.
而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量.用矩阵与向量的乘法施加运动.

线性变换不同于线性变换的一个描述同一个线性变换的矩阵具有性质：
若A和B是同一个线性变换的两个不同矩阵，
则一定存在非奇异矩阵P，使得

相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵.或者说相似矩阵都是同一个线性变换的描述.线性变换可以用矩阵的形式呈现，也就是说，矩阵是形式，而变换——也就是各种映射才是本质，而代数的重要任务之一就是研究各种数学结构之间的关系——也就是映射.维线性空间里的方阵的个维向量如果线性无关，那么它们就可以成为度量维线性空间的一组基，事实上就是一个坐标系体系.变换从变换的观点来看，对坐标系M施加R变换，
就是对组成坐标系M的每一个向量施加R变换.
从坐标系的观点来看，对坐标系M的每一个
基向量，把它在I坐标系中的坐标找出来,然后通
过R组成一个新的（坐标系）矩阵.
矩阵既是坐标系，又是变换.

数学书上的语言是经过千锤百炼的。这种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某些局部理解的精微.
这些描述的语言可能可以有更完善的改进，就像编写的程序有些地方的语句可以改得更巧妙更坚固一样.
数学容许我们每个人按自己的理解方式来理解,这就看你怎样对它加工，使它明确、使它华丽、使它完美.使它更易于理解和使用.这个过程也就是一个人学懂数学的过程.

数无形时少直观,
形无数时难入微,
数形结合百般好,
隔离分家万事休.

--------华罗庚将抽象思维形象化
将理论知识实用化
二、矩阵的四个基本子空间记：
Columnspace
Rowspace设A的行阶梯形为m=3
n=5
r=2Nullspace方程组中，若不等于0
且有解，则其解不会构成子空间，因为没
有0元素.

Leftnullspace设例3例4三、矩阵的奇异值分解应用领域
1.最优化问题；
特征值问题；
最小二乘问题；
广义逆矩阵问题等.
2.统计分析；
信号与图像处理；
系统理论和控制等.矩阵的正交对角分解
若A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得
(1)
其中为矩阵A的特征值，而Q的n个列向
量组成A的一个完备的标准正交特征向量系.
对于实的非对称矩阵A，不再有像式（1）的分解，但却存在两个正交矩阵P和Q，使为对角矩阵，即有下面的正交对角分解定理.

定理设非奇异，则存在正交矩阵P和Q，使得(2)
其中
证因为A非奇异，所以为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得，
其中为特征值
令,则有
或者
再令,于是有

即P为正交矩阵，且使

改写式(2)为
(3)
称式（3）为正交矩阵A的正交对角分解引理：
1.设则是对称矩阵，
且其特征值是非负实数.
2.
3.设则的充要条件是

定义设是秩为的实矩阵，奇异值分解定理证明设实对称矩阵的特征值为并改写②式为在矩阵理论中，奇异值分解实际上是“对称矩阵正交相似于对角矩阵”的推广.
奇异值分解中

是的特征向量，而的列向量是的特征向量，并且与的非零特征值完全相同.但矩阵的奇异值分解不惟一.数值秩因为第三列是前两列的
和，所以A的秩是2.
如果不考虑到这个关系，
运用IEEE标准的双精度浮点计算模式，
用MATLAB命令SVD计算A的奇异值：
计算结果为：
D=
2.4218e+000