矩阵分解矩阵的奇异值分解课件学习.pptx

会计学定义2.19设,若,则称A为酉矩阵.
定义2.20设,若存在酉矩阵P,使得
,则A称酉相似于B.
性质1若A是n阶实对称矩阵，是的特征值，则恒存在正交阵Q，使得
而且Q的n个列向量是的一个完备的标准正交特征向量系。
性质2若，是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，使得
其中.性质3(1)设,则是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数;
(2);
(3)设,则的充要条件为.
把性质2中的等式改写为

称上式是A的正交对角分解.
性质4(1)设,则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规矩阵;
(2)设,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩阵的充要条件A是为正规矩阵.二.矩阵的奇异值分解
现在开始论述矩阵的奇异值分解。
定义2.21设，的特征值为

则称是A的奇异值；规定零矩阵0的奇异值都是0.
定理2.9设,则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得（2.41）

其中矩阵,而数
是矩阵A的所有非零奇异值.称式（2.41）是矩阵A的奇异值分解.证根据性质3,是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数,且
记为
显然,是正规矩阵.根据性质4,存在n阶酉矩阵V,使得

或其中:

设V有分块形式

则有

即
由,得
或其中.

由,得或
令，则
根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量
扩充为的标准正交基
，记矩阵，则

是m阶酉矩阵，且
于是

所以

(证毕)
由上述定理的证明过程可知,A的奇异值是由A唯一确定的,但是,由于酉矩阵U和V是不唯一的,故A的奇异值分解(2.41)式也是不惟一的.例10求矩阵的奇异值分解.

解:可以求得矩阵

的特征值是,对应的特征向量可取为
，于是可得
，奇异值为，，且使得

成立的正交矩阵为，其中

经计算
,
将扩张成的正交标准基

则A的奇异值分解是例11设矩阵，求它的奇异值分解.

解经过计算，矩阵

的特征值为,对应的特征向量分别是
，

从而正交矩阵以及，

计算构造
.

的奇异值分解是三.正交相抵矩阵
定义2.22设,若存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩
阵V,使得,则称A与B正交相抵.
在上述定义中,若A和B都是n阶方阵,U=V,则
即A与B正交相似.可见正交相似概念是正交相抵概念的特殊情况.
定理2.10正交相抵的两个矩阵具有相同的奇异值.
证若,则上式表明与相似,而相似矩阵有相同的特征值,所以A与B有相同的奇异值.证毕

直接验证可知,正交相抵具有自反性、对称性和传递性，因此，所有正交相抵的矩阵构成了正交相抵等价类。在正交相抵等价类中的任一矩阵A，奇异值分解中的矩阵都是相同的，D称为正交相抵等价类中的标准形矩阵。