多元函数条件极值的求解方法.doc

河南教育学院本科毕业论文
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多元函数条件极值求解方法
摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。
关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
Abstract:Thispaperstudiesthesubstitutionmethod,theLagrangemultipliermethod,standardsubstitutionmethod,inequalityofninekindsofmethodinsolvingmultivariatefunctionextremumproblems,theapplicationconditionsaresummedupthediversefunctionsofconditionalextremevaluemethod,tosolvethecorrespondingproblemisabletoguide,tofindtherightsolution.
Keywords:multiplefunctions;Conditionalextremevalue;Lagrangemultipliermethod;Cauchyinequality
时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。
1.消元法
对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。
例1求函数在条件x－y+z=2下的极值.
解：由x－y+z=2解得
将上式代入函数，得
解方程组
得驻点
，，
在点处，
，所以不是极值点
从而函数在相应点处无极值；
在点处，
，
又，所以为极小值点
因而，函数在相应点处有极小值
极小值为.
2.拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.
求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵
的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.
首先，构造拉格朗日函数
然后，解方程组
从此方程组中解出驻点的坐标，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.
定理1.2.1（充分条件）设点及个常数
满足方程组，
则当方阵
为正定（负定）矩阵时，满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.
例2.求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.
解：此椭球在点处的切平面为

化简,得
此平面在三个坐标轴上的截距分别为：
则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；
即求目标函数在条件下的最大值，
其中，拉格朗日函数为

由解得;

3.标准量代换法
求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.
例3.设,求的最小值.
解：取为标准量,
令,
则(为任意实数),
从而有

等号当且仅当,即时成立，
所以的最小值为.
4.不等式法
4.1利用均值不等式
将目标函数配凑成均值不等式左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：，求解多元函数条件极值。
例4.1已知，，求的极小值.
解

=4(x+y+z)×
=4(x+y+z)×

当且仅当时，等号成立.
4.2利用柯西不等式
将目标函数配凑成柯西不等式
左边或者右边的形式，再根据柯西不等式中等号成立的充要条件：与对应成比例，来求解多元函数条件极值.
例4.2已知，求的最值.
解：首先将变形为
；
再设，
于是，根据柯西不等式及已知条件，有

即：
当且仅当时，等号成立；
即当时，；
当时，，
所以，，.
5梯度法
用梯度法求目标函数在条件函数时组限制下的极值，方程组

的解,就是所求极值问题的可能极值点.
其中表示目标函数的梯度向量，
表示条件函数的梯度向量例5.从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.
解:设两条直角边为,本题的实质是求在条件下的极值问题.根据梯度法,列出方程组
进一步求解得
容易解出
根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点.
所以，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大.
6.数形结合法
根据目标函数的几何意