毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》.doc

多元函数条件极值的解法与应用数学与计算机科学系信息与计算科学专业118632007049罗永滨指导教师：陈丽华【摘要】多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用.【关键词】极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用1.引言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分它不仅在理论上有重要的应用而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题虽然以前也有不少学者研究过但多数还只是理论上的研究实际利用方面的研究较少.如文[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用文[2]讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结通过具体实例对各种解法进行分析类比从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法其中最常用的是拉格朗日乘数法但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念2.1函数的极值定义2.1.1设元函数在点的某个邻域内有定义如果对该邻域内任一异于的点都有(或)则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点.2.2函数的条件极值定义2.2.1函数在个约束条件下的极值称为条件极值.3.多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若元函数在点存在偏导数且在该点取得极值则有备注：使偏导数都为的点称为驻点但驻点不一定是极值点.定理3.2（充分条件）设元函数在附近具有二阶连续偏导数且为的驻点.那么当二次型正定时为极小值；当负定时为极大值；当不定时不是极值.记并记它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理：定理3.3若则二次型是正定的此时为极小值；若则二次型是负定的此时为极大值.特殊地当时有如下推论：推论3.1若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导数且令则①当时.②当时没有极值.③当时不能确定需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数在条件下的极值.解由解得将上式代入函数得解方程组得驻点在点处所以不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处又所以为极小值点因而函数在相应点处有极小值极小值为.4.2拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值若及有连续的偏导数且Jacobi矩阵的秩为则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先构造拉格朗日函数然后解方程组从此方程组中解出驻点的坐标所得驻点是函数极值的可疑点需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件）设点及个常数满足方程组则当方阵为正定（负定）矩阵时为满足约束条件的条件极小（大）值点因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解此椭球在点处的切平面为化简得此平面在三个坐标轴上的截距分别为：则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积由题意可知体积存在最小值要使最小则需最大；即求目标函数在条件下的最大值其中拉格朗日函数为由解得;说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法但在实际解题过程中我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量称其余各量为比较量然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式一般设这几个量的算术平均数为标准量.例4.3.1设求的最小值.解取为标准量令则(为任意实数)从而有等号当且