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(通用版)2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第3讲圆锥曲线的几何性质考题溯源教材变式理 真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅰ,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3),O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.(选修2­1练习P48T7)经过椭圆eq\f(x2,2)+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A、B两点,求AB的长.细细品味,你会知道考题实际上是教材问题的升华创造,是静态问题向动态问题变迁的高级案例,要引起高度重视. [教材变式训练] 一、选择题 [变式1](选修2-1P49A组T1改编)在直角坐标平面xOy中,动点M(x,y)满足eq\r(x2+(y+3)2)+eq\r(x2+(y-3)2)=10,则|OM|的取值范围是() A.[3,5] B.[4,5] C.[6,10] D.[8,10] 解析:选B.设F1(0,-3),F2(0,3),则eq\r(x2+(y+3)2)+eq\r(x2+(y-3)2)=10,即为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,故动点M的轨迹为以F1(0,-3),F2(0,3)为焦点,以10为长轴长的椭圆,故|OM|∈[4,5]. [变式2](选修2-1P80A组T3(2)改编)与圆O:x2+y2=1和圆C:x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在() A.一个椭圆上 B.双曲线一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 解析:选B.设圆的圆心为P,对于圆C:x2+y2-8x+12=0可化为(x-4)2+y2=4,设圆P的半径为r, 则|PC|=2+r,|PO|=r+1, ∴|PC|-|PO|=1<|OC|=4, ∴P的轨迹为以O,C为焦点,以1为实轴长双曲线左支. [变式3](选修2-1P73A组T5改编)M是抛物线C:y2=4x上一点,F是C的焦点,∠MFx=60°,则|FM|为() A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选B.如图所示,l为抛物线C的准线,过M作x轴,l的垂线,分别交x轴,直线l于M0,M′,依题意可知:∠MFM0=60°, 设|M0F|=x,则|MF|=2x, ∴|MM′|=2x,又∵|KF|=2, ∴x+2=2x,∴x=2,∴|MF|=4. [变式4](选修2-1P58例4改编)F1、F2是双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1,A2是它的两个顶点,过F1且与实轴垂直的直线交双曲线A、B两点,若|AB|=3|A1A2|,则双曲线的离心率为() A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.3 解析:选C.AB所在的直线方程为 x=-c,代入eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1得y=±eq\f(b2,a), ∴|AB|=eq\f(2b2,a),由|AB|=3|A1A2|得 eq\f(2b2,a)=3×2a,即b2=3a2,∴c2=4a2,c=2a, 则有离心率e=eq\f(c,a)=2,故选C. [变式5](选修2-1P62B组T1改编)已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点与椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为() A.eq\r(2)x±y=0 B.eq\r(3)x±y=0 C.x±y=0 D.2x±y=0 解析:选B.∵椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1的焦点为(±4,0), ∴双曲线的焦点坐标为(±4,0),∴c=4, ∴在双曲线中eq\f(c,a)=2,c2=a2+b2, ∴a=2,b2=12, ∴双曲线方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,12)=1, ∴渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x=±eq\r(3)x, 即eq\r(3)x±y=0,故选B. [变式6](选修2-1P69例4,改编)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为() A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2) C.eq\f(3\r(2),2) D.2eq\r(2) 解析:选C.由