高三数学不等式（二）人教实验A版（理）知识精讲.doc

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高三数学不等式（二）人教实验A版（理）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
不等式（二）

二.重点难点
1.证明方法
（1）直接证明：比较法、综合法、分析法
（2）间接证明：反证法
（3）其它方法
2.均值不等式

【典型例题】
[例1]证明：
（1），求证：
（2）且，求证：
（3），，求证：
（4）且，求证：
（5），求证：
（6），求证：中至少有一个不小于
证明：（1）

（2）

（3）左=

∴
∴左
（4）

∵
∴*式显然成立
∴
（5）

（6）假设
即，，

与已知矛盾∴假设不成立∴原命题真

[例2]（1）的最大值；（2），的最小值
解：（1）
∴时，
（2）

∴时，

[例3]
（1），求的最小值；
（2），求的最小值。
解：（1）

∴
（2），
∴

当
∴
另解：

[例4]设（为常数），方程的两个实数根为，，且满足。
（1）求证：；
（2）设，比较与的大小。
（1）证明：由，得，∴

∴
（2）解：

∵，∴
又，
∴
∴

[例5]已知，且
（1）求证：方程总有两个正根；
（2）求不等式的解集；
（3）求使对于恒成立的x的取值范围。
解析：（1）证明：方程，即
即
所以方程的两根为，
因为，所以
故方程总有两个正根
（2），即
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为
当，即时，不等式的解集为
（3）
即
即
因为，所以
所以或恒成立
又，即，
所以
所以或
故使对于恒成立的x的取值范围是

[例6]已知二次函数满足，且对一切实数x恒成立。
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）求证：。
解析：（1）∵对恒成立
∴令，有
∴
（2）设
∵
∴∴
∵对恒成立
∴对恒成立
∴∴
∵，∴
∵
当且仅当时，等号成立∴
（3）证明：∵
∴

[例7]已知函数，若，有。求证：。
证明：
即证明
只需证明
只需证明
由于，故
∴，，
故只需证明
即证
即证
这由，上式是显然成立的。
因此，

[例8]已知，设，，试寻求使得P，Q都成立的x的集合。
解析：由题意得

若，则有，而
所以，故
故若，则有
若，则有
故

[例9]已知定义在区间[0，1]上，，且，证明：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
分析：（1）将代入验证可得。（2）代入，因式分解出再判定其余部分的大小。（3）添加项并利用不等式的性质进行放缩。（4）转化为的最大值和最小值问题。
证明：（1），，故。
（2）

∴，，
∴
∴
（3）不妨设，由（2）知
①
而由（1）知，从而

②
①+②得，即
（4）

[例10]已知函数（其中且）。
（1）求，并指出其定义域；
（2）解关于x的不等式。
解析：（1）当时，由得函数的值域为；
当时，由得函数的值域为
由解得
∴当时，，；
当时，，
（2）∵，且
∴原不等式等价于
解得∴不等式的解集为

[例11]设，，其中且，试比较与的大小。
解析：

∴当时，；
当或时，；
当时，

[例12]设集合，，又设函数。
（1）若不等式的解集为C，且，求实数m的取值范围；
（2）若对任意，都有成立，试求当时，的值域；
（3）当时，试证明：。
解析：（1）∵
∴
∴不等式的解集
又∵
∴只需相应方程两根都在内，即满足

（2）由条件知的对称轴是
∴当时，是减函数，且
∴
∴，即的值域为
（3）证明：∵
∴

[例12]某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km。在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（1）分别写出列车在B，C两站的运行误差；
（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。
分析：先根据运算误差定义写出在B，C两站的运行误差表达式，再求和得到不等式，解不等式可得v的范围。
解析：（1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和。
（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
（*）
当时，（*）式变形为
解得；
当时，（*）式变形为
解得；
当时，（*）式变形为
解得
综上所述，v的取值范围为

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.若实数满足，则的最小值是（）
A.18 B. C.6 D.
2.已知，则有（）
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
3.“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知不等式