高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示练习（含解析）新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题.docx

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
课时过关·能力提升
1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点B的坐标为()
A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)
C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)
解析:设点B的坐标为(x,y,z),由OM=AB得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1).
答案:B
2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则x,y的值分别是()
A.9,21 B.9,7
C.3,21 D.3,7
解析:a∥b⇔13=3x=73y,故x,y的值分别是9,7.
答案:B
3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
解析:∵|a|=22+42+x2=6,
∴x=4或-4.
∵a·b=2×2+4×y+2×x=0,
∴x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,
∴x+y=1或x+y=-3.
答案:A
4.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-4,5,2),则l与α的关系是()
A.l⊥α B.l∥α
C.l⊂α D.l∥α或l⊂α
解析:因为v·u=0,所以l∥α或l⊂α.
答案:D
★5.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在α内的是()
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,1,0) D.(-2,0,1)
解析:设M(x,y,z)为平面内一点,
则AM·n=0,即2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.
又A项中坐标满足上式,故选A.
答案:A
6.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O,OP=αOA+βOB,则α+β=.
答案:1
7.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.
解析:因为AB=(-1,2-y,z-3),AB∥v,
所以-12=2-y-1=z-33,
解得y=32,z=32.
答案:3232
8.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是.
答案:一条线段或一个钝角三角形
9.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.
证明:不妨设已知正方体的棱长为1,以A为坐标原点,AB,AD,AA'的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M1,0,12,B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N12,12,12,B'(1,0,1),所以MN=-12,12,0,A'C=(1,1,-1),BB'=(0,0,1).

因为MN·A'C=0,
所以MN⊥A'C.又MN·BB'=0,所以MN⊥BB'.
★10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.
解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

有A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E1,12,0,F12,1,0,设点M(1,1,m),
则EF=-12,12,0,B1E=0,-12,-1,D1M=(1,1,m-1).
∵D1M⊥平面EFB1,
∴D1M⊥EF,且B1E⊥D1M,
∴D1M·EF=0,D1M·B1E=0,
∴-12+12+(m-1)·0=0,1×0-12+1-m=0,
∴m=12.
故取B1B的中点M,能满足D1M⊥平面EFB1.