数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课件 新人教B版选修2 1 课件.ppt

3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【自我预习】1.直线的方向向量:与直线_____________的非零向量叫做此直线的方向向量.2.空间直线的向量参数方程:点A为直线l上的定点a为直线l的一个方向向量点P为直线l上任一点t为一个任意实数.(1)=___.(2)=________(O为空间任一确定的点).(3)=____________(在l上且=a).以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程.3.平行关系的向量表示4.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角:设两条直线所成的角为θν1和ν2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔_______cosθ=______________.【思考】判断:(1)直线l的方向向量是唯一的.()(2)若两条直线平行则它们的方向向量的方向相同或相反.()(3)若向量a是直线l的一个方向向量则向量ka也是直线l的一个方向向量.()【解析】(1)错误.直线l的方向向量有无数多个.(2)正确.若两条直线平行则它们的方向向量也平行故它们的方向向量的方向相同或相反.(3)错误.当k=0时ka是零向量此时它不是l的方向向量.答案:(1)×(2)√(3)×【自我总结】1.对直线的方向向量的三点说明(1)非零性:直线的方向向量是非零向量.(2)不唯一性:直线l的方向向量有无数多个可以分为方向相同和相反两类它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A和非零向量a就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.2.直线方向向量的应用利用直线的方向向量及点可以确定空间中的直线和平面.(1)若有直线l点A是直线l上一点向量a是l的方向向量在直线l上取=a则对于直线l上任意一点P一定存在实数t使得这样点A和向量a不仅可以确定l的位置还可以具体表示出l上的任意点.(2)空间中平面α的位置可以由α上的两条相交直线确定若设这两条直线交于点O它们的方向向量分别是a和bP为平面α上任意一点由平面向量基本定理可知存在有序实数对(xy)使得=xa+yb这样点P与方向向量ab不仅可以确定平面α的位置还可以具体表示出α上的任意点.【自我检测】1.思维辨析(对的打“√”错的打“×”)(1)两直线的方向向量平行则两直线平行.()(2)直线x+y+1=0的一个方向向量为(1-1).()(3)一条直线的单位方向向量是唯一的.()提示:(1)×.两直线可能重合.(2)√.直线的斜率为-1.(3)×.一条直线的单位方向向量有2个它们是相反向量.2.若A(10-1)B(212)在直线l上则直线l的一个方向向量是()A.(226)B.(-113)C.(311)D.(-301)【解析】选A.因为=(212)-(10-1)=(113)直线l的方向向量应平行于.3.直线l1l2的方向向量分别为v1=(301)v2=(-10m)若l1∥l2则m等于()A.1B.3C.D.-【解析】选D.因为l1∥l2所以所以m=-.4.若(ab为实数)则直线AB与平面CDE的位置关系为.【解析】因为所以共面所以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.答案:AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE类型一利用空间向量处理线线平行问题【典例】1.两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=v2=(-101)则直线l1和l2的位置关系是()A.平行B.相交C.垂直D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中点E是AB的中点点F是AA1上靠近点A的三等分点在线段DD1上是否存在一点G使CG∥EF?若存在求出点G的位置若不存在说明理由.【解题探究】1.典例1中向量v1与v2之间有什么关系?提示:观察v1和v2的坐标可知v1=-v2.2.在解决与正方体或长方体相关的问题时如何建立空间直角坐标系才最合适?提示:在涉及长方体或正方体的问题中一般以正方体或长方体下底面的一个顶点为原点以从这个顶点出发的三条棱所在的直线为坐标轴建立坐标系且使尽可能多的顶点在坐标轴上.【解析】1.选A.可知v1=-v2故v1∥v2又l1和l2不重合所以直线l1和直线l2的位置关系是平行.2.如图所示建立空间直角坐标系Dxyz设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1则C(010)假设在DD1上存在一点G使CG∥EF则由于点G在z轴上设G(00z)所以因为所以设