2.3幂函数.doc

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课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．

教学程序与环节设计：

创设情境
组织探究
尝试练习
巩固反思
作业回馈
课外活动
问题引入．
幂函数的图象和性质．
幂函数性质的初步应用．
复述幂函数的图象规律及性质．
幂函数性质的初步应用．

利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动创

设

情

境阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：
1．它们的对应法则分别是什么？
2．以上问题中的函数有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．生：独立思考完成引例．

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组

织

探

究材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如

的函数称为幂函数，其中为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．

[解]eq\o\ac(○,1)列表（略）
eq\o\ac(○,2)图象

师：说明：
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．

师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计师生双边互动组

织

探

究材料二：幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．

生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．材料三：观察与思考

观察图象，总结填写下表：

定义域值域奇偶性单调性定点材料五：例题
[例1]
（教材P92例题）

[例2]
比较下列两个代数值的大小：
（1），
（2），

[例3]讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．
并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．环节呈现教学材料师生互动设计尝
试
练
习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
4．用图象法解方程：
（1）；（2）．
探
究
与
发
现

1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．

2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
（1）和；
（2）和．

规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．作业回馈1．在函数中，幂函数的个数为：
A．0B．1C．2D．3
环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．
3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
（1）写出函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．
4．1992年底世界人口达到54