曾谨言量子力学教程第3版课后答案.docx

1章答案

设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。
证明粒子的能量平均值为，式中
（能量密度）
证明能量守恒公式

（能流密度）证明：（a）粒子能量平均值为（设ψ已归一化）

（势能平均值）

（动能平均值）

其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见《量子力学教程》，18页脚注），所以

（b）按能量密度W和能流密度s的定义

因此

考虑单粒子的Schrodinger方程

V1与V2为实函数．
证明粒子的概率（粒子数）不守恒；
证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为

证明：由Schrodinger方程

取复共轭

得

积分，利用Stokes定理

对于可归一化波函数，当 ，上式第一项（面积分）为0，而
，所以不为0，即粒子数不守恒．

对于一维自由粒子
设波函数为 ，试用Hamilton算符对运算，验证 ；说明动量本征态是Hamilton量
（能量）本征态，能量本征值为
设粒子在初始（t=0）时刻，求
设波函数为，可以看成无穷
多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态?
设粒子在t=0时刻，求．解：（a）容易计算出

所以动量本征态 量（能量）的本征态，能量本征值为
．
（b）其Fourier变换为

由于ψ（x，0）是能量本征态，按《量子力学教程》1.2节，（37）式，

对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于 是无穷多个动量本征态的叠加，所以不是能量本征态．
因为，按《量子力学教程》1.2节，（5）式

所以

计算中利用了积分公式

或，所以

设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包

证明初始时刻，

计算t时刻的波函数解：（1）初始时刻

按《量子力学教程》1.2节，（18）式之逆变换

所以

（2）按《量子力学教程》1.2节的讨论（见1.2节，（5）式，（18）式）可知，在t>0时的波函数

可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，而其宽度△x逐渐增大．

设一维自由粒子的初态为 ，证明在足够长时间后，

式中

是ψ（x，0）的Fourier变换提示：利用
证明：根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律
，式中所以时刻t的波函数为

当时间足够长后（t→∞），利用积分公式

上式被积函数中指数函数具有δ函数的性质，即

按照粒子密度分布ρ和粒子流密度分布j的表示式（1.2节式
（13），（14））

定义粒子的速度分布v

证明 设想v描述一个速度场，则v为一个无旋场．证明：按照上述v的定义，可知

处于势场V（r）中的粒子，在坐标表象中的能量本征方程表示成

试在动量表象中写出相应的能量本征方程．解：利用 的Fourier变换

可知

即

所以在动量表象中相应的能量本征方程为

2章答案

设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数，如a=b=c，讨论能级的简并
度。

解：在匣子内

即其中 采用直角坐标系，方程的解可以分离变量。
再考虑到边条件 能量本征函数可表示为

再考虑到可以求出

粒子的能量本征值为

而归一化的能量本征函数为

对于方匣子a=b=c，

能级的简并度为满足条件的正整数 解的个数。
【参阅：《量子力学》，卷Ⅱ，PP．420～421，练习2】
设粒子处于一维无限深方势阱中，

证明处于能量本征态的粒子，

讨论 的情况，并与经典力学计算结果比较．证明：设粒子处于第n个本征态，其本征函数为

在经典情况下，在区域（0，a）中粒子处于dx范围中的概率为，所以

当 ，量子力学的结果与经典力学计算值一致．

设粒子处于一维无限深方势阱中

处于基态（n=1，见2．2节式（12）），求粒子的动量分布．解：基态波函数

测量粒子的动量的概率分布为 。
【参阅：《量子力学》，卷I，PP．87～88，练习4和练习5】

设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为 A为归一化常数，（a）求A；（b）求测得粒子处于能量本征态的概率 特别是 作图，比较 与 曲线．从来说明两条曲线非常相似，即 几乎与基态完全相同，
解：（a）根据归一化条件

可得，所以

（b） 用 展开，，

只当n=1，3，5，…时，才不为0，特别是，非常接近于1．考虑到归一化条件，，可知概率几乎为0，即与概率几乎完全相同．
（c）

（实线）

（虚线）

同上题，设粒子处于基态（n=1）， ．设t=0时刻阱宽突然变为2a，粒子波函数来不及改变，即

试问：对于加宽了的无限深方势阱

是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值的概率．解：对于加宽了的无限深方势阱，能量本征值和能量