量子力学答案曾谨言.doc

量子力学的诞生
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有

（1）
又据deBroglie关系
（2）
而能量
（3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

即（：一来一回为一个周期）
,
同理可得，,,

粒子能量

1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。
提示：利用
解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为
（1）
其中由下式决定：。0
由此得，（2）
即为粒子运动的转折点。有量子化条件

得（3）
代入（2），解出
（4）
积分公式：
1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。
提示：利用是平面转子的角动量。转子的能量。
解：平面转子的转角（角位移）记为。
它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件

，
因而平面转子的能量
，

第二章波函数与Schrödinger方程
2.1设质量为的粒子在势场中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为，
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）
（1）
（势能平均值）（2）

其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此（3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（4）
且能量平均值。
（b）由（4）式，得

（：几率密度）
（定态波函数，几率密度不随时间改变）
所以。

2.2考虑单粒子的Schrödinger方程
（1）
与为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为

证：（a）式（1）取复共轭，得
（2）
（1）-（2）,得

（3）
即，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积积分，得

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3设和是Schrödinger方程的两个解，证明
。
证：（1）
（2）
取（1）之复共轭：（3）
（3）（2）,得

对全空间积分：

，（无穷远边界面上，）
即。

2.4）设一维自由粒子的初态，求。
解：

2.5设一维自由粒子的初态，求。
提示：利用积分公式
或。
解：作Fourier变换：，
，
（）
（指数配方）

令，则

。

2.6设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，

式中是的Fourier变换。
提示：利用。
证：根据平面波的时间变化规律
，，
任意时刻的波函数为

（1）
当时间足够长后（所谓），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取
，，（2）
参照本题的解题提示，即得

（3）
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。
设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。

2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。
解：经典能量方程。
在动量表象中，只要作变换，
所以在动量表象中，Schrödinger为：
。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，

求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为

若，则

这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
,

当时，

时，能级不简并；
三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，

证明处于定态的粒子

讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数
.
（1）

（2）
在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故
，（3）
，
（4）
当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，

处于基态，求粒子的动量分布。