高考数学总复习 专题2.9 函数模型及其应用导学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第九节函数模型及其应用
最新考纲
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
知识梳理
1.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质y＝ax
(a>1)y＝logax
(a>1)y＝xn
(n>0)在(0，＋∞)
上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化
而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.“对勾”函数
形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上是增加的，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上是减少的．
(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，
当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).
典型例题
考点一一次函数、二次函数模型的应用
【例1】某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：
年固定成本
(万美元)每件产品成
本(万美元)每件产品销售
价(万美元)每年最多可
生产件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．
【答案】（1）y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20，0≤x≤200且x∈N；
y2＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120且x∈N.
（2）x＝200时y1取最大值1980－200a(万美元)．
x＝100时，y2取最大值460万美元.

【变式训练1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.
【解析】设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))
＝－eq\f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq\f(1,2)(x－300)2－35000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
考点二分段函数模型的应用
【例2】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
8．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%