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初等数论

初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准
确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的
性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，
大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观
数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、
陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除
初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从
小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、
实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整
数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0，这
似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、
整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在
初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本
质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格
的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关
自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：
（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素
记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；
（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；
（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+一定可以
推出a=b;
(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S,如果n∈S则必有n+∈S,
那么，S=N.
这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属
重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：
（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果
（1）当n=1时，P(1)不成立；
（2）设n>1,若对所有的自然数m<n,P(m)成立，则必可推出P(n)成立。
那么,P(n)对所有的自然数都成立。
数学归纳法是一种非常常用的数学方法，其重要性不必多说。另外，由归
纳法原理还可推出两个在数学中，特别是初等数论中常用的自然数的性质，即
最小自然数原理和最大自然数原理。并且最小自然数原理是我们常用的第二数
学归纳法的基础。此外，在初等数论中还经常用到的一个工具，那就是鸽巢原
理，也就是同等意义下的在组合数学中的抽屉原理。
介绍完自然数和整数及其性质定理等数论基础后，下面来关注初等数论的
一写重要方面，即整除、带余数除法、辗转相除法、素数、约数、最大公约数
理论、算术基本定理等等。整除既然是初等数论的基础内容，看似简单的整除，
若要领略各中精髓以及其中之奥妙，仍需下一番苦功夫。单从整除的定义就有
各种解释方法：
1）设a,b∈Z,a≠0,如果存在q∈Z,使得b=aq,那么就说b可被a整除，
记作a∣b.
2）Z上定义一种关系R，令R={(a,b)∣a≠0.b∈Z}，且在<Z+&S226;>
使ax=b有解，称为Z上的整除关系。（任意的δ∈R，存在a,b∈Z，使得
δ=（a,b）∈R,一般写成aRb,称为a与b有整除关系，也称a是b的约数，也
称b是a的倍数。）
aRb令为a∣b,这就回到了第一种定义，其实这两种定义方式看似一样，其
数学内涵却大有不同：第一种定义方法是从最原始的观点出发，也可说从“整
除”的字面意思来定义，也是中学最常用的一种定义方式，因此只能算作一种
简单明了的数学思维，并不能真正体现数学的高等数论。尽管初等数论是一种
初等思想去解决一些高等难题。第二种定义方法则焦点于高等代数中的环、域
定义。环、域定义让我们的数学定义方式更加广泛，这是初等数学中所没有的，
因此有的时候初等数学解决不了的问题就可以用此种定义去解决，这给了我们
更广泛的思维空间。对整除的各方面性质可以归纳如下：
1）序关系≤(N,<)这来源于近似代数，故不做研究。
2）等价关系①aRa自反关系
②aRb=>bRa对称关系
③aRb,bRc=>aRc传递性
注意：整除不是等价关系
3）整除具有线性可加性a∣bi(1≤i≤n)óa∣∑bixixi∈Z
4）整除可约性a∣bóma∣mb(m≠0)
5）整除与符号无关a∣bó∣a∣∣∣b∣ó-a∣bóa∣-b
6）a∣b(b≠0)=>∣a∣≤∣b∣
上面这些性质可以灵活的加以利用，其魅力就可显现出来：
已知a,b∈Z.a2+b2≠0,存在x,y∈Z使得ax+by=1.若a∣bq,则可证a∣q
A,b同例1存在ax+by=1