初等数论 同余式.docx

第四章同余式
§1基本概念及一次同余式

同余式的解法
1、代入法（适用于模较小时）

2、公式法（适用于模较小时）

3、变换系数法

4、换模法

5、辗转相除法

§2孙子定理
本节讨论同余式组的求解问题。

定理1之所以称为“孙子定理”，因为在我国古代的数学著作《孙子算经》（纪元前后）中已经提出了这种形式的问题，并且很好地解决了它。孙子定理在国外文献和教科书中均称为“中国剩余定理”，并且在代数学中被推广成非常一般的形式。
《孙子算经》中所提出的问题之一如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
用现在的记号，上述问题相当于求解同余式组
。
《孙子算经》中所用的方法可以列表如下：
除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数最小答数323×5
×7=1055×7235×2×2140+63
+30=233233-
105×2=23537×3121×1×3723×5115×1×2程大位在《算法统宗》（1593）中将这一问题的算法总结成如下歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆半个月，除百零五便得知。
推广为一般的列表算法：
除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数m1b1m=m1m2…mkM1M1’M1M1’b1m2b2M2M2’M2M2’b2……………mkbkMkMk’MkMk’bk

§3质数模的同余式

质数模同余式的具体解法：
1、简化同余式，一般考虑以下简化方法：
(1)若f(x)的系数中有大于p的数，则可将其化到小于p；
(2)若，则可用去除f(x)，则可得到一个次数较低的与原同余式等价的同余式；
(3)若f(x)关于模p有一个或几个因式，则也可将原同余式的次数降低；
(4)若f(x)已知有一解或几解，则可析出因式将次数降低。
2、将模的完全剩余系中的数逐一代入同余式，检验即可得解。

§4高次同余式的解法