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吉首大学研究生课程论文

《随机矩阵理论在频谱感知上的应用》

课程类别：专业选修课
课程名称：矩阵理论
任课教师：

随机矩阵理论在频谱感知上的应用

摘要：频谱感知是指认知用户通过各种信号检测和处理手段来获取无线网络中的频谱使用信息，即主用户信号是否占用该频段。但主用户不占用时，认知用户可以使用该频段，反之则不能使用该频段。由此可知最重要的是检测主用户时候存在，本论文就利用随机矩阵理论来进行检测。随机矩阵理论(RandomMatrixTheory，RMT)通过比较随机的多维时间序列统计特性，可以体现实际数据中对随机的偏离程度，并揭示数据中整体关联的行为特性[1]。
关键字：随机矩阵理论；频谱感知

1引言

频谱感知的目的就是通过一些手段检测主用户是否存在来判断其所占有的频段是否空闲可用，如果可用，则认知用户可以利用此频段进行通信，这样一来可以充分的利用频谱资源[2],其中随机矩阵理论作为一套比较完备的理论体系，在无线通信领域已经被国际上许多学者广泛关注，已然发展成为无线通信领域的一个非常重要的理论工具。
随机矩阵理论一经提出就收到国外学者的关注，2009年10月，在欧洲召开了以随机矩阵理论为主题的国际会议RMTfWC2009(RandomMatrixTheoryforWirelessCommunications)，这标志着随机矩阵理论在通信领域已经成为学术界的一个研究热点，与此同时许多国家都在该研究方向设立了专项研究基金[3]。随机矩阵是指一个以随机变量为元素的矩阵，与确定性矩阵相对应。1928年，Wishart等人最早提出了随机矩阵的概念并对其加以研究，主要是研究了随机矩阵元素、特征根在正态分布情形下的联合分布。而对于以随机矩阵为核心的随机矩阵理论，对于它的研究最早起源于上世纪50年代。当时，Wigner首次将随机矩阵理论与核物理练习到一起，并发明了著名的半圆律。随后Marcenko和Pastures发现了著名的M-P律，从此大维随机矩阵引起了数学家和物理学家浓厚的兴趣[4,5]。
2008年，Cardoso等人着重研究了随机矩阵理论中的极限渐近谱理论，并利用此理论成果求出了由多个认知用户接收信息组成的采样协方差矩阵的最大特征值和最小特征值的极限值。再次基础上，将这两个极限值的比值作为频谱感知的判决门限与检验统计量进行比较进而作出判决，由此设计出了一种协作频谱感知算法LSC算法。它的优点是无需知道任何认知用户发射机信号先验信息就能得到比较好的性能，这是当时绝大部分传统的感知方法做不到的[6]。
近几年，国内研究机构也逐渐加强了对频谱感知技术的关注，主要包括电子科技大学、清华大学、香港科技大学及西安交通大学等等。除了大学之外，许多公司、企业也纷纷加入到这个行列当中。例如，华为公司一直非常关注频谱感知的研究进展，并且以实际行动资助一些与之相关的学术研究工作。
2008年，曾永红提出了一种基于随机矩阵理论的最大特征检测算法即MED算法，它的提出主要是解决判决门限因恒定不变而无法适时调整的缺点。他重点研究了有关矩阵最大特征值的分布特性理论，通过推导获得了采样协方差矩阵最大特征值的概率分布函数，并根据次分布函数探索出了判决门限与虚警概率的关系，进而推导出了判决门限随虚警概率变化的数学表达式。通过设置不同的虚警概率取值，MED算法的判决门限根据实际情况动态调整，由此克服了门限恒定不变的缺点。但是MED算法也存在当认知节点数目和采样次数较小时感知性能收到不利影响的缺点[7]。
2011年，南京邮电大学的曹开田和杨震提出了一种新的基于最小特征值的合作感知算法。他们对多个认知用户的采样协方差矩阵的最小特征值进行了研究并获得了最小特征值的概率密度函数。

2随机矩阵理论
随机矩阵的理论基础是概率论和数理统计，随机过程以及矩阵论。随机矩阵指的是一个以随机变量为基本元素的矩阵，其中如果随机矩阵的行数和列数都趋于无穷大，则称之为大维随机矩阵。目前所有的经典极限理论都假设数据的维数是固定的，但由于其自身的局限性，经典的极限理论不再适用于大维数据的情况。因此，在上世纪30年代Wishart等人提出了随机矩阵的概念，并对其进行了大量的研究[8]。
随机矩阵谱理论主要研究的是在满足一定条件的情况下，随机矩阵的经验谱分布函数所具备的一些优良特性，而这些特性恰好是血多确定性矩阵不具备的。例如，当非方阵的维数K与N都趋于无穷大，但比值K/N为以固定值β时，矩阵谱分布函数收敛到M-P率(Marcheko-Parstur率)，其概率密度函数为式(2-1)。
(2-1)
其中，a、b分别是非方阵的最小特征值和最大特征值，渐近收敛值满足式(2-2)。
(2-2)
根据有关随机矩阵的理论，当矩阵元素分布