黎曼几何初步前言.doc

“你们的事业的成长，应该像一棵树的成长一样。应该是顺其自然、无间断、和全面的。我希望你们的根能够在这个学院的肥沃土地下面尽量深入，以使你们的树干长得既粗且壮。这样，将来无论树叶多么茂盛丰满，也永不会有水分供应不暇的毛病。在上空将不时有狂风大雨，也会有行雷闪电。所以切勿长得太快太高。”
以上的一段话，是当代英国演员罗伦士奥利维亚在1947年OldVic戏剧学院开幕典礼中，向学生致词的一部分。这几句话对你们是有特殊意义的。因为这本书是一本很初步的书。如果你们有意细读这本书的话，则最少要弄清楚从这本书中你们能够得到些什么。目前一般研究生心目中，最迫切的问题似乎是：有没有一个可以写一篇文章的小题目？因此我要先此声明：这本书不讨论这一类的小题目。我写这本书的原意，只是希望能使“你们的根尽量向下面深入”。以后是否开枝发芽，就只能看你们自己的努力和天赋。书内所讨论的题目，都是一般的和基础性的，而且也是任何一个几何学家所熟悉的。要是你们能够好好掌握这几个基本性的概念，并且在将来能对几何学有一个比较全面的理解，则日后自然能够挑一些有意义的大题目来做。急功好利、只顾眼前的收获、和只找易做的小题目来写文章，这都不是一个数学工作者所应有的态度。这本书应该是你们向前迈进的踏脚石之一。我希望你们很快就会超过这本书的范围。
每一本书的作者都有一点和一个魔术师相同的地方，就是希望观众或读者所看见的一切，刚好是他希望他的读者或观众所看到一切。那么在我心中，幻想你们能够从这本书中看到的是什么呢？
第一，你们会了解书内的定义和定理既都是人为的，又同时是合理的。也许你们认为一本书要写得高深莫测，才能显出作者的学问渊博。但是我却希望你们会觉得书中的一切，不但是理所当然，而且是容易得只要肯化一点功夫就可以自己做出来的。要做到这一点，除了一般的“定义→定理→证明”基本形式以外，我设法多加一些按语来说清楚每个主要定义和主要定理的来龙去脉和直观意义。另一方面我也要指出，书内的概念和结果所以被认为是基本性的，并不是因为某某权威说过是如此如此，而是因为经过时间的考验后，发现确切是如此的。就是说，从经验的总结，我们现在知道这些概念和定理是有用的和必需的。所以一个初学者应该致力于探求为什么所学的是有用的和必需的，否则不能对所学有一个全面的了解。这种治学态度，其实不单是适用于数学上，而是适用于一切学问的领域上的，包括社会科学在内。
其次，我希望你们能够把握全书的要点，同时也能够把握每个定理、每个证明和每个概念的要点。一本好的数学书应该不同于一本字典。在后者当中每一个字都占有同等的地位。但是如果说这本书内无数的定义、定理和证明都是同样重要的，就未免荒谬无稽了。比方说，弧长的二次变分公式只是一个一般性的技巧性结果，要点在于弄清楚如何将它应用于具体的情况，而不在于探讨这个公式本身的深度或研究这个公式的推导。所以不应该只算出这个公式而不给应用，更不应该把这个公式当作主要定理之一。又比如，Synge定理的证明看来是相当累赘的。但是如果从一个很直观的事实做出发点，就是“任何一个非单连通的紧致黎曼流形上必存在一个非同伦于零的最短闭曲线”，则其它一切都是顺理成章的了。所以我希望你们能够培养一个习惯，总要问：这本书的要点何在？这一章的要点何在？这个证明的要点何在？能找到所有这些问题的答案，才能说有真正的了解。
最后，我希望你们能够完全以直观的眼光去了解这本书的内容。所有数学书都是充满了技术性的术语的，因为为了要表达清楚，作者毫无选择的余地。但是一个数学工作者的思考，大部分时候是靠直观（甚至是过分简化的直观）的想法来向前推进的。在几何学上这一点尤其是重要。所以书内这一类直观的讨论，比其它的数学课本会多一点。也许你们还迷信所谓“数学严格性”，以为数学上最重要的是每一步推论的正确性。这个论点，相当于说鲁迅文章的好处，主要是在于每句话都写得很通顺。我希望你们不会犯这个“见小不见大”的毛病。
当然以上三点只是我个人的幻想。现实和幻想的距离可能很大，但是当知道我的意图之后，希望你们能够用自己的想像力来填补这本书的不足之处。
我讲这个课的时候，刚好和奥运会重合。由于祖国在奥运会上的丰收，自然引起了“为什么中国数学家不能拿数学界的金牌”的问题。于是“拿金牌”这个口号不胫而走，暑期中心的同志们人人面上都挂著一个号：“中国在什么时候才拿数学界的第一面金牌？”这个问题后来甚至在杂志、报章上也被提出来了。这个想法实在很具有刺激性。若是真能把一门严肃的学问当作一种体育比赛，以后可以玩的花样就多得不可想像。比方说，人民日报第一页可能有如下的标题：“Poincaré与高斯在拓扑场上激战，Poincaré大胜，五比零。”又或：“群论决赛，Abel苦战Galois，不幸以二比三败北”等等。不过我猜想提倡在数学上“拿金牌”，主要的用意也不