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闲聊黎曼几何

古希腊大数学家欧几里德所的《几何原本》可以说是世界上最著
名、流传
最广的数学著作了。《几何原本》系统地总结了古代劳动人民和
学者们在实践
和思考中获得的几何知识，并把人们公认的一些事实列成定义和
公理，建立了
从公理、定义出发，来论证命题得到定理的几何学论证方法。
《几何原本》是欧式几何的奠基之作。早期的几何学是人们关于长度、
角度、面积和体积的经验总结，它来源于人们对所生活的空间结构的
认识。那么，这里有一个有趣的问题是：动物也会总结出关于长度、
角度、面积和体积的“几何学”吗？

让我们以深海鱼类为例，看一下它们所生活的空间结构吧。假定
你就是一
头鲸鱼。在深邃的大洋里光线不是很有用，因为水中很暗。所以
你主要靠声音
来感受外界、与外界交流。在你的世界中，两点之间的最短距离
将是声波走过
的路径。对于你来说，这就相当于一条直线。这一点就是问题的
关键。声音在大洋中的传播速度并非时时处处相等。在某一深度（大
约2000英尺或600米）以下，它的传播速度跟与水面的距离成正比。
所以声波传播的路径并非直线而是曲线。如果让一束从鲸鱼A传给鲸
鱼B的声波先向下利用较深处的较高传播速度，然后再向上，这样到
达鲸鱼B所需要的时间就会短些。实际上我们可以更准确地描述这些
曲线的性质：它们是圆心在洋面的圆弧！所以，对于鲸鱼来说，人类
称之为“圆”的东西实际上是直线（两点之间的最短距离）。
在鲸鱼的几何里会出现一些令我们惊讶的事物，但它们完全不会
让鲸鱼吃
惊。三角形三个内角之和小于180度。那里没有长方形（四个角
都是直角的四边形），但有直角五边形。最重要的是，在鲸鱼几何中
曲率是负值。这就是说，最初平行的直线之间的距离会越来越大。这
些现象都超出了欧几里德几何的范围，需要黎曼几何来解释。
古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中有五条公理。这五
条公里中有一条公理与众不同，远比其他的公理复杂，这就是著名的
平行公理。正是数学家们对这一公理的怀疑，产生了著名的黎曼几何。
平行公理：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小
于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角
和的一侧相交。
19世纪上半叶，有三位数学家分别独立地、大胆地提出对平行公
理的设想：
或许在平行公理不成立的条件下也会存在有效的几何学。这将创
建一种非欧几
何，这种几何将公然违反欧几里得在两千余年前设定的平行公理。
就像哈密尔
顿给出的不遵守交换律的代数一样，非欧几何的想法同样离经叛
道。要否定平
行公理或许需要更大的勇气，因为欧几里得、康德……以及两千多
年来积淀的
悠远传统都是这条公理的坚强后盾。
这三位革命者中的第一个是最负盛名的数学家高斯，他在19世纪
初开始试
图证明平行公理。但大约在1820年，他似乎逐渐确认，或许可以
另外建立一种
非欧几何。然而他从来没有发表过他的想法，而只是在通信中模
糊地对人有过
暗示。有关他这样做的原因的最好证据可以在他1829年写给他的
朋友贝塞尔的
一封信中找到。他在信中说，如果他发表了这一证明，他担心有
人会惊讶的“大
呼小叫”。
非欧几何的第二位发现者是波尔约。波尔约的老爹是高斯学生时
代的密友
老波尔约。老波尔约是一名数学教师，应该算是比较了解数学了，
他试图警告他的儿子，让他不要去证明平行公理：“看在上帝的分上，
我恳求你还是放弃吧。你要像恐惧情欲之火一样恐惧它，因为它也可
能会占用你所有的时间、摧毁你的健康、让你心中无法安宁，并破坏
你生命中的幸福。”
但他的儿子没有理会他的劝告，最终写下了一篇24页的论文《宇
宙中的绝
对科学》。老波尔约自然而然地给他的老朋友高斯看了小波尔约
的论文。高斯不愧为伟大的数学家，他的反应完全出人意料，生动地
体现了“数学家杀手”的职
业素养。高斯先将小波尔约的结果狠狠地夸奖了一番，然后郑重
地补上一句画
龙点睛的话：“令郎所使用的方法以及他最后得到的结果，所有
这些完全与我
自己的考虑一样。”最后，再给对手给以毁灭性的打击：“令郎
发明的非欧几何
其实毫无新意”。
实践证明，高斯招数的威力是巨大的。不但表明这些结果高斯已
经尽知，而
且还给于小波尔约以毁灭性的打击—-终其一生，小波尔约再也没
有发表过任何
一篇数学论文。
因为小波尔约放弃，这让非欧几何的大部分功绩归功于第三位发
现者。他就是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。他最先在一份默默无闻的
俄国杂志上发表了他的非欧几何文章；与小波尔约不同的是，他还继
续撰写有关非欧几何的论文和书籍，最后于1837年成功地在《克雷尔
杂志》上发表了一篇论文。
虽然罗巴切夫斯基被人认为是俄罗斯第一流的伟大数学家之一，
但令人遗憾的是，他没能在他有生之年得到他应该得到的赞扬。在俄
罗斯，他发明的几何就叫作罗巴切夫斯基几