第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2.doc

个人收集整理勿做商业用途个人收集整理勿做商业用途个人收集整理勿做商业用途§2场论初步场论的基本概念及梯度、散度与旋度［标量场]空间区域D的每点M(x,y,z）对应一个数量值(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场,用点M（x，y，z）的标函数(x,y，z）表示.若M的位置用矢径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝（r)。例如温度场u（x,y,z）,密度场,电位场e(x,y，z）都是标量场.[矢量场］空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值r（x，y，z），它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M（x，y,z)的矢量函数r(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)：r（r）＝X（x，y，z）i＋Y(x，y，z）j＋Z(x,y，z）k例如流速场（x，y,z)，电场E（x,y,z）,磁场H（x，y，z）都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语（标量场、矢量场）是为了保留它们的自身起源与物理意义.[梯度]grad＝(,,)==i＋j＋k式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子。grad有的书刊中记作del.grad的方向与过点（x，y,z）的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于.梯度具有性质：grad（＋）＝grad＋grad(、为常数）grad(）＝grad＋gradgradF（）＝［方向导数]＝l·grad＝cos＋cos＋cos式中l＝(cos，cos,cos)为方向l的单位矢量，，，为其方向角.方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影。［散度]divr＝＋＋=·r=div(X,Y,Z）式中为哈密顿算子。散度具有性质:div（a＋b)＝diva＋divb（、为常数）div(a）＝diva＋agraddiv（a×b)＝b·rota－a·rotb[旋度]rotr＝（)i＋(）j＋()k=×r=式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rotr有的书刊中记作curlr。旋度具有性质：rot（a＋b)＝rota＋rotb（、为常数)rot(a)＝rota＋a×gradrot（a×b）＝（b·）a－（a·)b＋（divb）a－(diva)b[梯度、散度、旋度混合运算]运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场r产生标量场divr，运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场rotr。这三种运算的混合运算公式如下：divrotr＝０rotgrad＝０divgrad＝＋＋=graddivr＝（r)rotrotr＝×（×r)divgrad(+)=divgrad+divgrad（、为常数)divgrad（)=divgrad＋divgrad＋２grad·gradgraddivr－rotrotr＝r式中为哈密顿算子,＝·＝２为拉普拉斯算子。［势量场（守恒场)］若矢量场r(x，y，z）是某一标函数（x，y,z）的梯度，即r＝grad或X＝，Y＝,Z＝则r称为势量场，标函数称为r的势函数。矢量场r为势量场的充分必要条件是：rotr＝０，或=,=，=势函数计算公式（x，y，z）＝（x0，y0,z0）＋＋＋［无散场(管形场)]若矢量场r的散度为零，即divr＝0,则r称为无散场.这时必存在一个无散场T,使r＝rotT，对任意点M有T＝式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.[无旋场]若矢量场r的旋度为零，即rotr＝0，则r称为无旋场。势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数,使r＝grad，而对任意点M有＝－式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的。梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式1．单位矢量的变换[一般公式]假定x=f（）,y=g（),z=h（）把（）空间的一个区域一对一地连续映射为(x，y，z）空间的一个区域D，并假定f,g,h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有＝（x，y,z），再假定也有连续偏导数，则有或逆变换沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j,k，沿方向的单位矢量记作，则有［圆柱面坐标系的单位矢量]对于圆柱面坐标系（图8。11）单位矢量为它们的偏导数为［球面坐标系的单位矢量］对于球面坐标系（图8.12）单位矢量为它们的偏导数为2．矢量的坐标变换［一般公式]一个由（x，y，z）坐标系所表达的矢量可以用（）坐标系来表达:＝（，y，z）＝i＋yj＋zk＝式中[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换］由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式[球面坐标系与直角坐标系的互换]由球面坐标系到直角坐标系的变换公式由直角坐标系到球面坐标系的变换公式3．各种算子在不同坐标系中的表达式设U＝U(x,y,z)是一个标函数，