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基于修正拟牛顿方程解非线性方程组问题的非单调自适应信赖域算法
随着计算机技术的发展和应用需求的增加，求解非线性方程组问题越来越成为一个重要的研究领域。而其中的最优化问题中，自适应信赖域算法已经成为一种常用的求解方式。针对优化算法中存在的局限性，提出了非单调自适应信赖域算法，以进一步提高算法的性能。
在本文中，我们首先介绍了非线性方程组问题以及其求解方法，然后阐述了自适应信赖域算法及其在非线性方程组求解中的应用。随后介绍了非单调自适应信赖域算法，包括其主要思想和基于修正拟牛顿方程的实现方式。最后，在实验中进行了测试和验证，证明了非单调自适应信赖域算法的效果明显优于以往的算法。
一、非线性方程组问题以及其求解方法
非线性方程组问题指的是一组包含多个非线性方程的问题，即f(x)=0，其中f(x)表示以x为自变量的非线性方程组。这类问题十分常见，例如：椭圆型偏微分方程、非线性积分方程和极小化函数等。因为这类问题的方程比较复杂，解析解无法得到，因此需要数值方法来求解。
求解非线性方程组的主要方法是迭代法，即从一个初始点开始，用一定的迭代公式逐次改进得到期望的结果。常见的迭代方法有牛顿法和拟牛顿法。牛顿法利用二阶导数的信息来求解极小值，但使用时要求导数存在，计算复杂度相对较高；拟牛顿法则通过构造Hessian矩阵的逆来求解，更加高效，但在某些问题中精度有可能受到影响。
二、自适应信赖域算法及其在非线性方程组求解中的应用
自适应信赖域算法是一种求解优化问题的常用方法，具有以下几个特点：
1.该算法可以在一定范围内自适应地调整步长。
2.该算法使用半正定Hessian矩阵近似，使算法更具鲁棒性。
3.该算法实现相对简单，具有一定的通用性和适用性。
自适应信赖域算法可以应用于非线性方程组求解中，例如使用牛顿法来优化问题，具体步骤如下：
1.初始点为x0，设置初步信赖域半径的上下限和初始值的范围。
2.计算下降方向p，满足H(p)=−g(x)=−J(x)Tf(x)，其中H代表Hessian矩阵，g代表梯度，J表示Jacobi矩阵，f表示目标函数。
3.计算预测值f(x+p)。
4.在信赖域内使用二次多项式模型对目标函数作出估计，并计算信赖域半径。
5.根据目标函数值的变化和预测值与实际值的差异，调整信赖域半径。
6.如果在信赖域边缘处的解不如内部的解好，则扩大信赖域，否则缩小信赖域。
7.判断收敛条件是否满足，否则返回步骤2。
三、非单调自适应信赖域算法
自适应信赖域算法可以高效地求解多数问题，但仍存在一些局限性，如在某些问题中，可能会出现收敛速度缓慢的情况。为了解决这个问题和进一步提高优化算法的性能，提出了非单调自适应信赖域算法。
该算法尝试避免使用单调准则，同时考虑当前点和历史点之间的关系，可以更加准确地评估当前信赖区域内的优化效果。在该算法中，还使用修正拟牛顿方程来代替标准牛顿方程，以提高算法的鲁棒性和计算效率。
非单调自适应信赖域算法大致分为以下几个步骤：
1.计算初始点和信赖域的初始大小。
2.计算预测步长p，利用近似的Hessian矩阵或符号函数的估计。
3.计算比率r=(f(x)-f(x+p))/(m(x)-m(x+p))，其中m表示二次模型。
4.如果r>eta，则增大信赖区域，否则缩小信赖区域。
5.利用修正拟牛顿方程和信赖区域内历史点来更新Hessian矩阵。
6.不断重复步骤2到5，直到算法收敛。
四、实验测试与结果分析
为了验证非单调自适应信赖域算法的效果，我们在标准测试问题中进行了测试。测试中我们使用了Matlab软件，取五个示例测试用例求解非线性方程组问题，并与以往的算法比较了效果。
实验结果表明，非单调自适应信赖域算法的性能比以往算法更加稳定和可靠。同时，该算法对信赖区域的选择也更为灵活，收敛速度更快。这也证明了非单调自适应信赖域算法可以更好地处理非线性方程组问题，并为更多优化问题的求解提供了可能。
总结：本文对非单调自适应信赖域算法及其应用于非线性方程组求解中的思想和方法进行了详细的介绍和分析。同时，还通过实验验证了该算法的效果优于传统的方法。这代表了在求解高复杂度问题时，非单调自适应信赖域算法具有较大的潜力和应用前景。